2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法有( )
A. 3种B. 6种C. 9种D. 24种
2.(x−2)5的展开式中x3的系数为( )
A. 40B. −40C. 80D. −80
3.高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一、二、三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是( )
A. 72B. 144C. 48D. 36
4.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a2+a8+a17=6，则S17=( )
A. 17B. 34C. 51D. 102
5.若函数f(x)=xlnx−ax+1在[e,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若|F1P|=2|F1H|，则双曲线C的离心率为( )
A. 132B. 5C. 2 5D. 13
7.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是( )
A. 18B. 24C. 36D. 48
8.已知函数f(x)=(x2−x−1)ex，设关于x的方程f2(x)−mf(x)=5e(m∈R)有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为( )
A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若C21m+2=C212m−5，则m的值可以是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
10.已知抛物线y²=2px(p>0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A. p=2B. |AB|≥4C. OA⋅OB=−4D. k1k2=−4
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如a1=1+1=2，a2=1+2+1=4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的有( )
A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B. 在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C. S10=1022
D. {2anSn⋅Sn+1}的前n项和为12−1an+2−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若正项等比数列{an}中的a5，a2019是方程x2−4x+3=0的两个根，则lg3a1+lg3a2+lg3a3+⋅⋅⋅+lg3a2023=______.
13.若(1−3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=______.
14.已知点P(2,0)，动点Q满足以PQ为直径的圆与y轴相切，过点P作直线x+(m−1)y+2m−5=0的垂线，垂足为R，则|QP|+|QR|的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+1 x)n的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点P(0,−2)处的切线斜率为−1，且在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[−1,2]时，求函数f(x)的最值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax−x+1−a.(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在x>1，使f(x)+xb>0)的焦距为2，且过点H(1, 22).不过原点O的直线l与椭圆C交于不同的P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在一点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为L(M,N)操作．设数列{an}是无穷非减正整数数列．
(1)若an=2n−1，n∈N+，{an}进行L(2,1)操作后得到{bn}，设an+bn前n项和为Sn
①求Sn.
②是否存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差？若存在，求出所有的(p,q,r)；若不存在，说明理由．
(2)若an=n，n∈N+，对{an}进行L(4,0)与L(4,1)操作得到{bn}，再将{bn}中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到{cn}证明：每个大于1的奇平方数都是{cn}中相邻两项的和．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：从书架的第1、2、3层取1本书，可以分成3个类型，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9；
故选：C.
根据分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理是解决本题的关键，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：(x−2)5的展开式的通项Tr+1=C5rx5−r(−2)r，
令5−r=3，解得r=2，
所以T3=C52x3(−2)2=40x3，所以x3项的系数为40.
故选：A.
首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排，有A33=6种方法，
再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中，有A42=12种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，
必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12=72.
故选：A.
先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排的方法种数，先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排的方法种数，由分步计数原理即可得出答案．
本题考查了排列数公式的应用问题，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}的前n项的和为Sn，
a2+a8+a17=3a1+24d=3a9=6，
∴a9=2.
∴S17=172(a1+a17)=17a9=34.
故选：B.
由等差数列通项公式得a8=2，再由S17=172(a1+a17)=17a8，能求出结果．
本题考查等差数列通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
求出原函数的导函数，把问题转化为a≤lnx+1在[e,+∞)上恒成立，由单调性求得lnx+1的最小值，即可得到实数a的取值范围．
【解答】
解：由f(x)=xlnx−ax+1，得f′(x)=lnx+1−a，
∵函数f(x)=xlnx−ax+1在[e,+∞)上单调递增，
∴lnx+1−a≥0在[e,+∞)上恒成立，即a≤lnx+1在[e,+∞)上恒成立，
∵lnx+1在[e,+∞)上单调递增，∴(lnx+1)min=2，
可得a≤2.
∴实数a的取值范围是(−∞,2].
故选B.
6.【答案】B
【解析】解：由已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交双曲线的右支于点P，
以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，|HF1|= F1O2−OH2= c2−a2=b，
在△PF1F2中，∵H，C为PF1，F1F2中点，∴|PF2|=2|OH|=2a.
又|PF1|=2|HF1|=2b，|PF1|=|PF2|=2a，所以2b−2a=2a,⇒ba=2，
∴e= 1+b2a2= 5.
故选：B.
求出PF2|=2a.结合|PF1|=2|HF1|=2b，|PF1|=|PF2|=2a，转化求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：若仅有甲和乙两支救援去队同一个受灾点，则有C31C31A22=18种不同的安排方法；
若甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，则有C31C31A22=18种不同的安排方法，
所以由分类加法原理可知共有18+18=36种不同的安排方法．
故选：C.
分两情况：一是仅有甲和乙两支救援队去同一个受灾点，二是甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，然后根据分类加法原理求解即可．
本题考查排列组合的应用，计数原理的应用，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：f′(x)=ex(2x−1)+)+(x2−x−1)ex=ex(x2+x−2)，
∴当x1时，f′(x)>0，当−2