2024年北京市“极光杯”高考数学线上测试试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市“极光杯”高考数学线上测试试卷（二）（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=sinπ3+icsπ3，则z3=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.设{an}是公差不为0的等差数列，a2，a4，a10成等比数列，则a11a5=( )
A. 3B. 52C. 115D. 2
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则( )
A. l//A1DB. l//B1DC. l//C1DD. l//D1D
4.若函数f(x)=t⋅4x+(2t−1)⋅2x有最小值，则t的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,12]C. (12,+∞)D. [12,+∞)
5.设x,y,z∈(0,π2)，(sinx+csx)(siny+2csy)(sinz+3csz)=10，则( )
A. π4z
6.向量a,b满足|b|=1，⟨a+b，a+2b⟩=30∘，则|a|的取值范围是( )
A. [ 2−1, 2+1]B. [ 3−1, 3+1]C. [ 5−1, 5+1]D. [ 6−1, 6+1]
7.暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球.记摸球停止时总得分为X，则E(X)=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
8.对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}，则( )
A. A×B=B×AB. 若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B)
C. A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)D. 集合{0}×R表示y轴所在直线
E. 集合A×A表示正方形区域(含边界)
9.已知直线y=k(x−1)经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，与C交于M，N两点，与C的准线交于P点，若|FM|,|MP|,|FN|成等差数列，则( )
A. p=2B. FP=NFC. FN=3MFD. k= 3E. |PN|=8
10.存在定义域为R的函数f(x)满足( )
A. f(x)是增函数，f[f(x)]也是增函数
B. f(x)是减函数，f[f(x)]也是减函数
C. 对任意的a∈R，f(a)≠a，但f[f(x)]=x
D. f(x)是奇函数，但f[f(x)]是偶函数
E. f(x)的导函数f′(x)的定义域也是R，且f[f(x)]=−x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.曲线y= 1−x在点(34,12)处的切线方程是______.
12.写出一个正整数n>1，使得(3x+2 x)n的展开式中存在常数项：______.
13.设双曲线C:x2−y2a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=6，点P在C的右支上，当PF1⊥PF2时，|PF1|⋅|PF2|=______；当 P运动时，|PF1|+1|PF2|的最小值为______.
14.已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90∘的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2π，则该圆台体积的取值范围是______.
四、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，sin(A+π4)sin(B+π4)=csAcsB.
(1)求C；
(2)若AB= 2，求CA⋅CB的最小值.
16.(本小题12分)
已知数列{an}和{bn}满足sinan+1=sinan+csbn，csbn+1=csbn−sinan.
(1)证明：sin2an+1+cs2bn+1=2(sin2an+cs2bn)；
(2)是否存在a1，b1，使得数列{sin2an+cs2bn}是等比数列？说明理由.
17.(本小题12分)
设a>0，函数f(x)=xalnx.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤x，求a的取值范围；
(3)若f′(x)≤1，求a.
18.(本小题12分)
已知二面角α−l−β，点P∈α，P与棱l的距离为 13，与半平面β所在平面的距离为3.
(1)求二面角α−l−β的余弦值；
(2)设A，B∈l，AB=1，动点Q在半平面β所在平面上，满足PQ=5.
(i)求Q运动轨迹的长度；
(ii)求四面体P−QAB体积的最大可能值.
19.(本小题12分)
设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P(X=ak)=xk，P(Y=ak)=yk，xk>0，yk>0，k=1,2,⋯,n,k=1nxk=k=1nyk=1.指标D(X∥Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(X∥Y)=k=1nxklnxkyk.设X∼B(n,p)，00，解得0π4，则−β 22，
则R1=x2−14xR2=x2+14x，
所以V= 15π3(38x+132x3)= 15π24(3x+14x3).
令f(x)=3x+14x3，x> 22.
因为f′(x)=3−34x4=3(2x2+1)(2x2−1)4x4=3(2x2+1)(x2−12)8x4>0，
所以函数f(x)=3x+14x3在( 22,+∞)上单调递增，
则f(x)>f( 22)=2 2.
所以V> 15π24×2 2，即V> 30π12.
则该圆台体积的取值范围是( 30π12,+∞).
故答案为：( 30π12,+∞).
根据题意，先利用圆台的侧面积公式及弧长公式可得l=2R2+R1和l=4R2−4R1，进而得出R22−R12=12，结合图形利用勾股定理得出圆台的高；再根据台体的体积公式计算圆台的体积；最后构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出答案．
本题考查圆台的侧面积及体积等相关量的计算．解题关键在于结合圆台及侧面展开图找到相关几何关系，列出关系式，表示出体积；难点在于求体积的取值范围，需要构造函数，利用导数研究函数的最值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为sin(A+π4)sin(B+π4)=csAcsB，
所以( 22sinA+ 22csA)( 22sinB+ 22csB)=csAcsB，
12(sinA+csA)(sinB+csB)=csAcsB，
即sinAcsB+csAsinB=csAcsB−sinAsinB，
即sin(A+B)=cs(A+B)，
因为A，B，C是△ABC的内角，则A+B=π−C，
所以sinC=−csC，即tanC=−1，C∈(0,π)，
所以C=3π4；
(2)在△ABC中，由余弦定理有csC=a2+b2−22ab=− 22，
化简得a2+b2=− 2ab+2，又a2+b2≥2ab，即− 2ab+2≥2ab，
解得00，
假设存在a1，b1，使得数列{sin2an+cs2bn}是等比数列．
由(1)结论得，sin2an+1+cs2bn+1=2(sin2an+cs2bn)，sin2an+cs2bn>0，
则sin2an+1+cs2bn+1sin2an+cs2bn=2，故数列{sin2an+cs2bn}是公比为2的等比数列，
则sin2an+cs2bn=m⋅2n−1，
但当n>2−lg2m时，sin2an+cs2bn>m⋅22−lg2m−1=m⋅2lg22m=2，
由|sinan|≤1，|csbn|≤1，则sin2an+cs2bn≤2，产生矛盾，
故不存在a1，b1，数列{sin2an+cs2bn}是等比数列．
【解析】(1)两式平方相加，由同角三角函数平方关系可得；
(2)假设存在，等比数列各项均不为0，则由通项公式与三角函数有界性可推出矛盾．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=xalnx的定义域为(0,+∞)，a>0，
则f′(x)=axa−1lnx+xa−1=xa−1(alnx+1)，
令f′(x)0，所以f(x)≤x等价于xa−1lnx≤1，
记函数g(x)=xa−1lnx，
当a≥1时，g(e2)=2e2(a−1)>1，不合题意；
当0|AP|，
这表明P是C上与A距离最小的点，
不妨设P(x0,y0)，
因为点P在椭圆C上，
所以x0216+y0212=1，
易知|AP|2=(4−x0)2+(7−y0)2，
因为(ad−bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)，
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，当且仅当ad=bc时，等号成立，
所以(4−x0)2+(7−y0)2=15[(4−x0)2+14(14−2y0)2](1+4)≥15(18−x0−2y0)2，
又(x0+2y0)2≤(3x02+4y02)(13+1)=64，
解得−8≤x0+2y0≤8，
则|AP|2≥15(18−8)2=20，
当且仅当x0+2y0=8且2(4−x0)=1×(7−y0)时，等号成立，
解得x0=2，y0=3，
此时P(2,3)；
(3)证明：因为A(4,7)，P(2,3)，
不妨设直线AP与x轴交于B(b,0)，
此时7−34−2=3−02−b，
解得b=12，
所以B(12,0)，
要证∠APF1=∠APF2，
即证∠BPF1=∠BPF2，
易知F1(−2,0)，F2(2,0)，
所以PF2⊥x轴，
则|PF1||PF2|=|BF1||BF2|=53，
在△PF1B和△PF2B中，由正弦定理得sin∠PBF1sin∠BPF1=sin∠PBF2sin∠BPF2，
因为∠PBF1和∠PBF2互补，
所以sin∠PBF1=sin∠PBF2，
则sin∠BPF1=sin∠BPF2，
故∠BPF1=∠BPF2.

【解析】(1)由题意，分析当P在C:x216+y212=1内时，设线段PA与C有一交点Q推导出矛盾即可；
(2)记AQ在AP上的投影向量为AQ′，可推导P是C上与A距离最小的点，再设P(x0,y0)，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；
(3)设直线AP与x轴交于B(b,0)，根据A，B，P共线可得B(12,0)，再结合|PF1||PF2|=|BF1||BF2|=53与正弦定理，转证∠BPF1=∠BPF2即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．