2024年天津市部分区高考数学质检试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市部分区高考数学质检试卷（二）（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则(∁UA)∪B=( )
A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2,3}D. {−1,0,1,3}
2.“a>b”是“ac2>bc2”的 ( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若a=lg131.9，b=lg215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. b>a>c
4.在数列{an}中，若a1a2…an=3n2−2n(n∈N*)，则a3的值为( )
A. 1B. 3C. 9D. 27
5.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=ln|x|x2+1
B. f(x)=ex−e−xx2
C. f(x)=x2−1x
D. f(x)=ln|x|x
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于A点，若∠F1F2A=π6，则双曲线的离心率为( )
A. 13B. 3C. 3D. 213
7.某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为( )
A. a的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80
C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人
8.在各棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，上下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D−EFG和H−EFG，则剩余部分的体积为( )
A. 11 36B. 3 32C. 5 33D. 36
9.已知函数f(x)=sin2x+2sinxcsx−cs2x，关于f(x)有下面四个说法：
①f(x)的图象可由函数g(x)= 2sin2x的图象向右平行移动π8个单位长度得到；
②f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增；
③当x∈[π6,π2]时，f(x)的取值范围为[ 3−12, 2]；
④f(x)在区间[0,2π]上有3个零点.
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i是虚数单位，化简7−5i3+2i的结果为______.
11.( x+2x)6展开式中的常数项等于__________.
12.过点M(0,1)的直线与圆(x+2)2+y2=1相交于A，B两点，且与抛物线y2=4x相切，则|AB|=______.
13.盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)=______.
14.在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中点，延长AP交BC于点D.设AB=a，AC=b，则AP可用a，b表示为______，若AD= 6，cs∠BAC=35，则△ABC面积的最大值为______.
15.已知函数f(x)=ax2−x,x≥−1,−x+a,xb>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=8，离心率为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点A1的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，且满足|A1M|bc2；
当ac2>bc2时，说明c≠0，
有c2>0，得ac2>bc2⇒a>b.
故a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，
故选：A.
不等式的基本性质，“a>b”不一定“ac2>bc2”结论，因为必须有c2>0这一条件；反过来若“ac2>bc2”，说明c2>0一定成立，一定可以得出“a>b”，即可得出答案．
本题以不等式为载体，考查了充分必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，得出正确结论的重要条件．
3.【答案】B
【解析】解：a=lg131.9b>a.
故选：B.
结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由a1a2…an=3n2−2n(n∈N*)，
可得a1=3−1=13，
a1a2=34−4=1，即有a2=3，
a1a2a3=39−6=27，
解得a3=27.
故选：D.
由数列的递推式，分别求得a1，a2，a3.
本题考查数列的递推式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，由函数的图象，f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)的图象关于原点对称，
且f(1)=f(−1)=0，当x→+∞时，f(x)→+∞，
依次分析选项：
对于A，f(x)=ln|x|x2+1，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=ln|x|x2+1=f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意；
对于B，f(x)=ex−e−xx2，有f(1)=e−1e1≠0，不符合题意；
对于C，f(x)=x2−1x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−x2−1x=−f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
且f(1)=f(−1)=0，符合题意；
对于D，f(x)=ln|x|x，当x→+∞时，f(x)→0，不符合题意．
故选：C.
根据题意，由函数的图象分析f(x)的定义域、奇偶性和特殊值，由此分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域和奇偶性，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可知抛物线的准线方程为x=−c，
由对称性，不妨设点A在三象限，
联立x=−cy=bax，解得A(−c,−bca)，
又∠F1F2A=π6，∴|F1F2|= 3|yA|
∴2c= 3⋅bca，
∴ba=2 3，
∴双曲线的离心率e= 1+(ba)2= 1+43= 213.
故选：D.
根据题意可知抛物线的准线方程为x=−c，由对称性，不妨设点A在三象限，再联立x=−cy=bax，求出A点坐标，再根据题意建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，抛物线与双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：易知(a+0.02+0.05+0.025)×10=1，则a=0.005，所以A错误：
由频率分布直方图可知众数落在区间[80,90),用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知0.05+0.2+(x−80)×0.05=0.6，解得x=87，
所以这组数据的第60百分位数为87，所以C正确；
成绩低于80分的频率为0.05+0.2=0.25，所以估计总体有1000×0.25=250，故D错误．
故选：C.
利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.
本题主要考查频率分布直方图，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意易知△EFG是边长为1的正三角形，两个三棱锥D−EFG和H−EFG的高均为1，
∴在该三棱柱中挖去两个三棱锥D−EFG和H−EFG，则剩余部分的体积为：
12×2×2× 32×2−2×13×12×1×1× 32×1=11 36.
故选：A.
根据题意易知△EFG是边长为1的正三角形，两个三棱锥D−EFG和H−EFG的高均为1，再根据体积公式计算即可得解．
本题考查组合体的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
9.【答案】B
【解析】解：f(x)=sin2x+2sinxcsx−cs2x=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，
把函数g(x)= 2sin2x的图象向右平行移动π8个单位长度得y= 2sin(2x−π4)=f(x)，正确；
当−π4≤x≤π4时，−3π4≤2x−π4≤π4，此时f(x)不单调，错误；
当π6≤x≤π2时，π12≤2x−π4≤3π4，
所以 6− 24≤sin(2x−π4)≤1，
故 3−12≤f(x)≤ 2，正确；
令f(x)= 2sin(2x−π4)=0，可得2x−π4=kπ，k∈Z，
则x=π8+kπ2，k∈Z，
故函数f(x)在区间[0,2π]上的零点为π8，5π8，9π8，21π8共4个，错误．
故选：B.
先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合三角函数图象平移检验①；结合正弦函数的单调性检验②；结合正弦函数的取值范围检验③；结合函数零点检验④即可判断．
本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
10.【答案】1113−2913i
【解析】解：7−5i3+2i=(7−5i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=1113−2913i.
故答案为：1113−2913i.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．注意牢记二项展开式的通项公式．
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．
【解答】
解：展开式的通项为Tr+1=2rC6rx3−32r，
令3−32r=0得r=2，
所以展开式的常数项为4C62=60，
故答案为60.
12.【答案】 2
【解析】解：设过点M(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线方程为y=kx+1，
联立y=kx+1y2=4x，可得k2x2+(2k−4)x+1=0.
Δ=(2k−4)2−4k2=0，解得k=1.
∴切线方程为x−y+1=0.
圆(x+2)2+y2=1的圆心为(−2,0)，半径为1，
圆心(−2,0)到直线x−y+1=0的距离d=|−2+1| 2= 22，
∴|AB|=2 12−( 22)2= 2.
故答案为： 2.
设过点M(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，利用判别式为0求解k，可得切线方程，再由垂径定理求|AB|.
本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】13 45
【解析】解：设事件A表示“第一次取到黑球”，事件B表示“第二次取到黑球”，
则P(A)=410=25，P(AB)=C42C102=215，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=21525=13，
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=16C41CC102=815，P(X=2)=C42C102=215，
所以E(X)=0×13+1×815+2×215=45.
故答案为：13；45.
利用条件概率公式可求解第一空，由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式可求解第二空．
本题主要考查了条件概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
14.【答案】AP=13a+12b 258
【解析】解：∵P是CM的中点，∴AP=12AM+12AC，
∵AM=2MB，∴AM=23AB，
∴AP=12×23AB+12AC=13AB+12AC=13a+12b；
设AD=λAP，则AD=13λa+12λb=λ3AB+λ2AC，
∵D在BC上，∴λ3+λ2=1，解得λ=65，
∴AD=65AP，|AP|=56|AD|=56 6，
∴|AP|2=(13a+12b)2=19a2+14b2+13a⋅b
=19c2+14b2+13bc⋅35=19c2+15bc+14b2=256，(a,b,c分别为A，B，C所对边)
∵19c2+14b2≥2 19c2×14b2=13bc，
∴19c2+15bc+4b2=256≥13bc+15bc，得bc≤12516(当且仅当b=c时取等)，
∵cs∠BAC=35，∴sin∠BAC=45，
∴S△ABC=12bcsin∠BAC=25bc≤25×12516=258.
故答案为：AP=13a+12b；258.
第一空，直接由向量的线性运算计算即可；第二空，用向量a,b表示向量AD，即可求出AP的模，设a，b，c分别为A，B，C所对边，由AP的模表示出b，c的关系，利用基本不等式即可求解△ABC面积的最大值．
本题考查了平面向量的线性运算及应用，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
15.【答案】(−∞,−12)∪(0,+∞)
【解析】解：当a=0时，可得f(x)=−x，易知在R上单调递减，不满足题意；
当a≠0时，当x≥−1时，f(x)=ax2−x，对称轴为x=12a，
当x0时，x=12a>0，
当x≥−1时，开口向上，大致图象如图所示：
所以函数在(−∞,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增，
所以∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，满足题意；
当a