2024年河北省A16联盟高考数学模拟演练试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河北省A16联盟高考数学模拟演练试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一组数据4，4，2，6，4，1，9，8的极差是( )
A. −8B. −5C. 5D. 8
2.已知点A，B，C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且2OA=3OB+λOC，则λ的值是( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
3.某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为( )
A. 323πB. 1243πC. 2243πD. 2563π
4.已知函数y=ln(x2−3x+2)的定义域为集合A，值域为集合B，则∁BA=( )
A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (−∞,l]∪[2,+∞)
C. (1,2)D. [1,2]
5.已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.设函数f(x)=(x−a)sinax，若存在x0使得x0既是f(x)的零点，也是f(x)的极值点，则a的可能取值为( )
A. 0B. πC. πD. π2
7.过原点且倾斜角为α(00)相切，则ab=( )
A. tan(π4+α2)B. tan2(π4+α2)C. tan(π4−α2)D. tan2(π4−α2)
8.双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1，F2，过F2的直线与其一支交于A，B两点，点B在第四象限.以F1为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段AF1，BF1分别交于M，N两点，且|AM|=3|BN|，F1B⊥F2B，则Γ的渐近线方程是( )
A. y=± 6xB. y=± 62xC. y=± 63xD. y=± 64x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，P为AA1中点，Q为BC中点，则( )
A. 直线PD与直线QB1平行B. 直线PC1与直线QD1垂直
C. 直线PQ与直线A1B相交D. 直线PQ与直线DB1异面
10.已知函数f(x)=esinx−csx+ecsx−sinx，则( )
A. f(x)的图像是中心对称图形B. f(x)的图像是轴对称图形
C. f(x)是周期函数D. f(x)存在最大值与最小值
11.外接圆半径为 2的△ABC满足2sinA+3csBcsC=4，则( )
A. B=CB. A0,b>0)的右焦点F(1,0)，且交C于A(43,13)，B两点.
(1)求C的离心率；
(2)设点P(3,1)，求△ABP的面积.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间[0,2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
17.(本小题15分)
机器模型预测常常用于只有正确与错误两种结果的问题.表1为根据模型预测结果与真实情况的差距的情形表格，定义真正例率p1=n1n1+n2，假正例率p2=n3n3+n4.概率阈值为自行设定的用于判别正(反)例的值，若分类器(分类模型)对该样例的预测正例概率大于等于设定的概率阈值，则记分类器表1分类结果样例划分预测为正例，反之预测为反例.
表1.分类结果样例划分
利用这些指标绘制出的ROC曲线可衡量模型的评价效果：将各样例的预测正例概率与1，0从大到小排序并依次作为概率阈值，分别计算相应概率阈值下的p1与p2，以p2为横坐标，p1为纵坐标，得到标记点.依次连接各标记点得到的折线就是ROC曲线.图1为甲分类器对于8个样例的ROC曲线，表2为甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据.
表2 甲，乙分类器对于相同8个样例的预测数据
(1)当概率阈值为0.47时，求甲分类器的ROC曲线中的对应点；
(2)在图2中绘制乙分类器对应的ROC曲线(无需说明绘图过程)，并直接写出甲，乙两分类器的ROC曲线与x轴，直线x=1所围封闭图形的面积；
(3)按照上述思路，比较甲，乙两分类器的预测效果，并直接写出理想分类器的ROC曲线与x轴，直线x=1所围封闭图形的面积为1的充要条件.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥A−BCED中，平面ABC⊥平面BCED，AB=AC，AD=AE，BC//DE，BD=CE，BC=2DE=4 3，∠DAE=12∠BAC，AD=ABsin∠DAE.设BC中点为H，过点H的平面α同时垂直于平面BAD与平面CAE.
(1)求sin∠DAE；
(2)求平面α与平面BCED夹角的正弦值；
(3)求平面α截四棱锥A−BCED所得多边形的周长.
19.(本小题17分)
某箱中有k(k+1)(k∈N*)个除颜色之外均相同的球，k已知.箱中1个球为白球，其余为黑球.现在该箱中进行一取球实验：每次从箱中等可能地取出一个球，若取出白球或取球k(k+1)次后结束实验，否则进行相应操作进行下一次取球.设实验结束时的取球次数为X.
(1)若取出黑球后放回箱中，求X的数学期望E(X)；
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中，求P(X=m)的最大值Pk，并证明：Pk+10，解得x2，
故A=(−∞,1)∪(2,+∞)，B=R，
所以∁BA=[1,2].
故选：D.
先求对数函数的定义域和值域得到集合A，B，再由集合的补集运算计算即可．
本题考查对数函数的定义域与值域，集合的运算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，
当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A.
根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：f′(x)=sinax+(ax−a2)csax，令f(x0)=(x0−a)sinax0=0，有x0=a或sinax0=0，
x0=a时，f′(x0)=0可得sinax0=0，即sina2=0，则a2=kπ，a= kπ(k∈N)，
sinax0=0时，f′(x0)=0，可得a(x0−a)csax0=0，由csax0≠0，
有a=0或x0=a，可得a= kπ(k∈N)，
又a=0时，f(x)是常函数，不存在极值点，故a= kπ(k∈N*)，k=1时可取 π.
故选：B.
求导数，令导数为0，讨论方程，再根据函数零点的定义即可求值．
本题考查函数零点，函数的极值点，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：过原点且倾斜角为α(00)相切，
圆心(a+b2,0)，半径r=a−b2，
可得圆心到直线的距离d=r，
即|a+b2⋅tanα| tan2α+1=a−b2，
即sinαcsα 1+sin2αcs2α=a−ba+b，
即sinαcsα1csα=ab−1ab+1，
即sinα=ab−1ab+1，
解得ab=1+sinα1−sinα=sin2α2+cs2α2+2sinα2csα2sin2α2+cs2α2−2sinα2csα2=(sinα2+csα2sinα2−csα2)2=(1+tanα21−tanα2)2=tan2(π4+α2).
故选：B.
由题意写出直线方程，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，建立关系式，再化简即可求得．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及三角恒等变换，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，由题意得：|F1M|=|F1N|=2a，
设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，
所以|AF1|=2a+3t，|BF1|=2a+t，
由双曲线的定义得：|AF1|−|AF2|=|BF1|−|BF2|=2a，
所以|AF2|=3t，|BF2|=t，则|AB|=|AF2|+|BF2|=4t，
因为F1B⊥F2B，在Rt△AF1B中，|BF1|2+|AB|2=|AF1|2，
即(2a+t)2+(4t)2=(2a+3t)2，解得t=a，
所以|BF1|=3a，|BF2|=a，
在Rt△BF1F2中，|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，
即(3a)2+a2=(2c)2，可得a2=25c2，
所以b2=a2−c2=35c2，
所以a2b2=23，即ab= 63，
故双曲线Γ的渐近线方程为y=± 63x.
故选：C.
设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，由已知结合双曲线定义，在△AF1B中由勾股定理求得t=a，在△BF1F2中，利用勾股定理得a2=25c2，进而可求答案．
本题考查双曲线的定义及几何性质，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，如图建立坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，
A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
P(2,0,1)，Q(1,2,0)，
依次分析选项：
对于A，DP=(2,0,1)，QB1=(1,0,2)，由于DP=kQB1对于任意的k都不会成立，则DP与QB1不平行，则直线PD与直线QB1不平行，A错误；
对于B，PC1=(−2,2,1)，QD1=(−1,−2,2)，则有PC1⋅QD1=2−4+2=0，则PC1⊥QD1，即直线PC1与直线QD1垂直，B正确；
对于C，直线PQ与直线A1B是异面直线，C错误；
对于D，直线PQ与直线DB1既不相交也不平行，是异面直线，D正确．
故选：BD.
根据题意，建立空间直角坐标系，分析A、B，由异面直线的定义分析C、D，综合可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的定义，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，f(x)+f(−x)=esinx−csx+ecsx−sinx+esin(−x)−cs(−x)+ecs(−x)−sin(−x)
=esinx−csx+ecsx−sinx+e−sinx−csx+ecsx+sinx不为常数，
故f(x)关于(0,f(0))不对称，故A错误；
对于B，f(π4+x)=e 2sinx+e− 2sinx=f(π4−x)，则f(x)的对称轴方程为x=π4，故B正确；
对于C，f(x+π)=esin(x+π)−cs(x+π)+ecs(x+π)−sin(x+π)=e−sinx+csx+e−csx+sinx=f(x)，
则f(x)的周期为π，故C正确；
对于D，令t=sinx−csx= 2sin(x−π4)∈[− 2, 2]，
令g(t)=et+e−t,t∈[− 2, 2]，g(−t)=g(t)，g(t)是偶函数，
故只需考虑t∈[0, 2]的部分，g′(t)=et−e−t，t>0时，g′(t)>0，
2=g(0)≤g(t)≤g( 2)=e 2+e− 2，即f(x)存在最大值e 2+e− 2与最小值2，故D正确．
故选：BCD.
A项，验证f(x)+f(−x)是否为常数；B项，可证明f(π4+x)=f(π4−x)；C项，可得f(x+π)=f(x)；D项，利用函数奇偶性，单调性确定最值．
本题考查函数的性质，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：由2sinA+3csBcsC=4，有2sinA+32cs(B+C)+32cs(B−C)=4，
由代换与辅助角公式有2sinA−32csA+32cs(B−C)=52sin(A−D)+32cs(B−C)=4，
其中角D满足tanD=34，又52sin(A−D)+32cs(B−C)≤4，当且仅当sin(A−D)=1，cs(B−C)=1，
故有sinA=csD=45，csA=−sinD=−35，且B=C，故有csAB+C，故A正确，B错误；
由sinBsinC=sin2(π−A2)=cs2A2=12(csA+1)=15，则三角形ABC的面积S=2R2sinAsinBsinC=1625，由csA2=4 55，
容易求得三角形ABC的周长C=16 10+3 25，故C正确，D错误．
故选：AC.
对2sinA+3csBcsC=4三角恒等变换化简可得52sin(A−D)+32cs(B−C)=4，其中角D满足tanD=34，又52sin(A−D)+32cs(B−C)≤4，当且仅当sin(A−D)=1，cs(B−C)=1，可得B=C，再结合三角函数单调性和三角形面积公式判断各选项即可．
本题考查正弦定理及三角形面积公式的应用，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．
12.【答案】1+i(答案不唯一，满足对z=a+bi，a2+(b+1)2=5即可)
【解析】解：令z=1+i，
则z−=1−i，
故|z−−i|=|1−2i|= 12+(−2)2= 5.
故答案为：1+i(答案不唯一，满足对z=a+bi，a2+(b+1)2=5即可).
结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：由已知可得，b1=2，b2=2q，b3=2q2，
再由ab2=b1，ab3=b2，
得a1+(2q−1)d=2，a1+(2q2−1)d=2q，
联立以上两式可得：2−2qd=q(2−2qd)，
∴q=1(舍去)，或2−2qd=0，即qd=1.
故答案为：1.
由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】[512,23]
【解析】解：因为随机变量X，Y分别服从成功概率为23，34的两点分布，
则P(X=0)=13，P(X=1)=23，
P(Y=0)=14，P(Y=1)=34，
所以XY=0或1，
所以E(XY)=0×P(XY=0)+1×P(XY=1)
=P(XY=1)=P(X=1,Y=1)
=P(X=1)+P(Y=1)−P(X=1或Y=1)
=1712−P(X=1或Y=1)，
因为P(X=1或Y=1)≤1，且P(X=1或Y=1)≥max{P(X=1),P(Y=1)}=34，
所以−1≤−P(X=1或Y=1)≤−34，
所以512≤1712−P(X=1或Y=1)≤23，
即E(XY)的取值范围是[512,23].
故答案为：[512,23].
由两点分布及期望公式求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望，两点分布，考查运算求解能力，属于难题．
15.【答案】解：(1)易知c=1，
因为点A(43,13)在椭圆C，
所以169a2+19a2−1=1，
解得a= 2，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1，
则离心率e=ca= 22；
(2)因为直线l经过A(43,13)，F(1,0)两点，
可得直线l的方程为y=x−1，
联立x22+y2=1y=x−1，
解得x=0或x=43，
所以直线l与椭圆C的另一交点为(0,−1)，
则|AB|= (43−0)2+(13+1)2=4 23，
又点P到直线l的距离d=|1−3−1| 12+12= 22.
故△ABP的面积S=12⋅d⋅|AB|=23.
【解析】(1)由题意，结合题目所给信息以及a，b，c之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解；
(2)先得到直线l的方程，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)f(x)=2x3−ax2+1，则f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，
当a=0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增；
当a0时，令f′(x)0，解得x∈(−∞,0)∪(a3,+∞)，
故f(x)在(0,a3)上单调递减，在(−∞,0)和(a3,+∞)上单调递增．
综上，a=0时，f(x)在R上单调递增；
a0时，f(x)在(0,a3)上单调递减，在(−∞,0)和(a3,+∞)上单调递增．
(2)当a=0时，f(x)=2x3+1在区间[0,2]上不存在零点；
当a0时，f(x)在(0,a3)上单调递减，在(a3,+∞)上单调递增；
若a3a+1b+1，结合放缩法即可证明．
本题考查了概率分布列，考查了不等式的证明，属于难题．总例
预测结果
正例
反例
真实情况
正例
真正例n1
假反例n2
反例
假正例n1
真反例n4
样例数据
甲分类器
乙分类器
样例标号
样例属性
预测正例概率
预测正例概率
1
正例
0.23
0.34
2
正例
0.58
0.53
3
反例
0.15
0.13
4
反例
0.62
0.39
5
正例
0.47
0.87
6
反例
0.47
0.53
7
反例
0.33
0.11
8
正例
0.77
0.63
X
1
2
…
n−1
n
P
p
pq
…
pqn−2
qn−1