2024年上海师大附中高考数学模拟试卷（3月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年上海师大附中高考数学模拟试卷（3月份）（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合{A=x|x>−2}，B={x|x2+2x−15≥0}，则下列结论中正确的是( )
A. A⊆BB. A∩B=⌀C. A−⊆B−D. A−∩B−≠⌀
2.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V=πd36，当d=2dm时，气球体积的瞬时变化率为( )
A. 2πB. πC. π2D. π4
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= 3，且c−2b+2 3csC=0，则该三角形外接圆的半径为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
4.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，若CP=λCA+μCB，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为−45；
②PA⋅PB的最小值为−6；
③λ+μ的最大值为34；
④PA⋅PB的最大值为8.
其中，正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.复数3+4i3−4i的虚部是______.
6.双曲线x2−y24=1的焦距是______.
7.若抛物线x2=my的焦点到它的准线距离为1，则实数m=______.
8.(x+3x)n的二项展开式的各项系数之和为256，则该二项展开式中的常数项为______.
9.已知两个单位向量a，b满足|4a+b|= 13，则向量a，b的夹角为__________.
10.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x(1−x)，则f(32)=______.
11.设圆锥的底面中心为O，PB、PC是它的两条母线，且|BC|=2，若棱锥O−PBC是正三棱锥，则该圆锥的体积为______.
12.已知函数f(x)=2f′(3)⋅x−29x2+lnx，则f(1)=______.
13.已知数列{an}，{bn}是公差相等的等差数列，且an+bn=2n+5，若bn为正整数，设cn=abn(n∈N*)，则数列{cn}的通项公式为cn=______.
14.如图ABCDEF−A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______.
15.已知F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|=2|PF2|=3|F1Q|，则C的离心率是______.
16.已知n∈N*，集合A={sinkπn|k∈N,0≤k≤n}，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为______.
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
(1)已知tan(3π4+α)=3，求sin2α+cs(π+α)sin(π2−α)+sin2α+sinαcs3α的值.
(2)已知△ABC中，tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB，且sinBcsB= 34，判断△ABC的形状，并说明理由.
18.(本小题14分)
如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，且AF⊥DE，F是垂足.
(1)求证：AF⊥DB；
(2)若圆柱与三棱锥D−ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小.
19.(本小题14分)
某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班(45人)和高三二班(30人)进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次.
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率.
20.(本小题16分)
已知点F1，F2分别为双曲线Γ：x22−y2=1的左、右焦点，直线l：y=kx+1与Γ有两个不同的交点A，B.
(1)当F1∈l时，求F2到l的距离；
(2)若O为原点，直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，证明；当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；
(3)设P为x轴上一点，是否存在实数k(k>0)，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由．
21.(本小题18分)
已知函数g(x)=ax2−(a+2)x，h(x)=lnx，令f(x)=g(x)+h(x).
(1)当a=1时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；
(2)当a为正数且1≤x≤e时，f(x)min=−2，求a的最小值；
(3)若f(x1)−f(x2)x1−x2>−2对一切0