2024年北京市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={−1,0,1,2,3}，A={1,2}，B={0,2,3}，则(∁UA)∩B=( )
A. {3}B. {0,3}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3}
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−1)，则2iz=( )
A. −1+iB. −2+2iC. 1−iD. 2−2i
3.(x2−2x)6的展开式中常数项为( )
A. −240B. −160C. 240D. 160
4.下列函数中，是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. f(x)=1x+1B. f(x)=−x3C. f(x)=tanxD. f(x)=lg12|x|
5.在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，则AB⋅AC=( )
A. 4 3B. 8C. 12D. 8 3
6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(45,−35)，则cs(π−2α)=( )
A. −925B. −725C. 725D. 925
7.已知圆心为C的圆(x+2)2+(y−4)2=16与双曲线E：x24−y2b2=1(b>0)交于A，B两点，且CA⊥CB，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=±12xC. y=± 2xD. y=±2x
8.某池塘里有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S(单位：平方米)与时间t(单位：月)的关系式为S=at+1(a>0,且a≠1)，图象如图所示.则下列结论正确的个数为( )
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时问分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2−2a2(n+1)Sn”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=x|x|−1,x≤1,lg2x+1,x>1,g(x)=xlnx，若关于x的方程(f(x)−2)(g(x)−m)=0恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. (−1e,0)B. (−1e,1)C. (0,+∞)D. (1,+∞)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数f(x)=x2+lg(x−2)的定义域为______.
12.已知点P(1,−2 2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为______.
13.已知数列{an}为等比数列，a1=1，a3=3a2，则a5=______；数列{an+2}的前4项和为______.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)=______；若f(x)在区间(0,π2)上有3个零点，则ω的一个取值为______.
15.如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90∘形成的面所围成的几何体，点G是圆弧DF的中点，点H是圆弧AE上的动点，AB=2，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面BDH//平面CEG；
②存在点H，使得FH⊥平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于4 33；
④存在点H，使得直线DH与平面CEG所成角的正弦值为 23.其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，几何体ABCDE中，AC⊥BC，四边形ABDE是矩形，BD⊥BC，点F为CE的中点，BC=BD=1，AC=2.
(Ⅰ)求证：BC//平面ADF；
(Ⅱ)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值.
17.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csCcsA=2b−ca.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=2 3，b=2，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABD的面积.
条件①：AD=12(AB+AC)；
条件②：∠BAD=∠CAD.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视.为了解人们的健康情况，某地区一体检机构统计了2023年20岁到100岁来体检的人数及年龄在[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的体检人数的频率分布情况，如下表.该体检机构进一步分析体检数据发现：60岁到80岁(不含80岁)体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如下图.
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题.
(Ⅰ)根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；
(Ⅱ)用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；
(Ⅲ)根据上图的统计结果，有人认为“该体检机构2023年60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3个，且小于9.8个”.判断这种说法是否正确，并说明理由.
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+x−1ex，a∈R.
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，求a的取值范围.
20.(本小题15分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点(不与左右顶点重合)，点T(t,0)在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y轴于点Q，问是否存在t，使得TP⋅TQ为定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，请说明理由.
21.(本小题15分)
从数列{an}中选取第i1项，第i2项，…，第im项(1≤i1Snn，
所以Sn+1n+1−Snn=a1+n2d−(a1+n−12d)=12d>0，
所以S2−2a2=a1+a2−2a2=a1−a2=−d(n+1)Sn”可以推出“S2−2a21=−x2−1,x≤0x2−1,01，
其图象如图所示：
又因为g(x)=xlnx(x>0)，
g′(x)=lnx+1，
令g′(x)=lnx+1=0，得x=1e，
所以当x∈(0,1e)时，g′(x)0，g(x)单调递增；
所以g(x)min=g(1e)=−1e，
又因为关于x的方程(f(x)−2)(g(x)−m)=0恰有3个不同的实数根，
即f(x)=2和g(x)=m共有3个不同的解，
由y=f(x)的图象可知f(x)=2只有一个解为x=2，
所以g(x)=m有两个不同解，且根中不含2，
即y=g(x)的图象与直线y=m有两个不同交点，
如图所示：
由此可得m∈(−1e,0).
故选：A.
由题意可得f(x)=2和g(x)=m共有3个不同的解，由f(x)的图象可知f(x)=2只有一个解，从而得g(x)=m有两个不同解，作出y=g(x)图象，结合图象求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．
11.【答案】(2,+∞)
【解析】解：f(x)=x2+lg(x−2)，
则x−2>0，解得x>2，
故函数f(x)的定义域为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
12.【答案】3
【解析】解：∵点P(1,−2 2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，
∴(−2 2)2=2p，解得p=4.
则抛物线C：y2=8x，可得点P到抛物线C的焦点的距离为1+p2=1+2=3.
故答案为：3.
由已知求解p，再由抛物线的焦半径公式求解．
本题考查抛物线的几何性质，是基础题．
13.【答案】81 48
【解析】解：∵a1=1，a3=3a2，∴a3a2=3=q，
则a5=a1q4=81；
数列{an+2}的前4项和为a1+2+a2+2+a3+2+a4+2=a1+a2+a3+a4+8=1+3+9+27+8=48.
故答案为：81；48.
根据等比数列的通项公式即可求值．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】csx6(答案不唯一)
【解析】解：f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则π=2πω，ω=2，
则函数f(x)=sin(2x+π6)，其图象向左平移π6个单位长度后，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)=csx；
f(x)=sin(ωx+π6)，当x∈(0,π2)时，ωx+π6∈(π6,πω2+π6)，
若函数f(x)在(0,π2)上有3个零点，则πω2+π6>3ππω2+π6≤4π，
解得1730，f(π2)=−4+3=−10，
所以csA=12，A∈(0,π)，
可得A=π3；
(Ⅱ)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即12=4+c2−2×2×c×12，即c2−2c−8=0，
解得c=4或c=−2(舍)，
若选条件①：AD=12(AB+AC)，可知D为BC的中点，所以S△ABD=12S△ABC，
因为a=2 3，b=2，A=π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×4× 32=2 3，
所以S△ABD=12×2 3= 3；
若条件②：∠BAD=∠CAD，即AD为∠CAB的角平分线，
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，
即12bcsinπ3=12c⋅AD⋅sinπ6+12b⋅AD⋅sinπ6，
即2×4× 32=AD×(2+4)×12，
解得AD=4 33，
所以S△ABD=12c⋅ADsinπ6=12×4×4 33×12=4 33.
【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理，三角形中角的关系，可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的值；
(Ⅱ)选条件①可得AD为BC的中线，可得S△ABD=12S△ABC，由余弦定理可得边c的值，代入三角形的面积公式可得△ABC的面积，进而求出△ABD的面积；若选条件②，可得AD为角平分线，由等面积法，可得AD的值，进而求出△ABD的面积．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，等面积法求线段的大小，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据上表，从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率为17%+3%=20%；
(Ⅱ)用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的概率为15，
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=C30(15)0(45)3=64125，P(X=1)=C31(15)1(45)2=48125，P(X=2)=C32(15)2(45)1=12125，
P(X=3)=C33(15)3(45)0=1125.
所以随机变量X的分布列为：
数学期望为E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35.
(Ⅲ)这种说法不正确．
理由如下：若在60岁到80岁(不含80岁)中，[60,65)、[65,70)、[70,75)、[75,80)体检人群的频率分别为70%、10%、10%、10%，则60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题平均值为0.7×8.7+0.1×9.3+0.1×9.8+0.1×10.1=9.01个，所以该判断是不正确的．
【解析】(Ⅰ)从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，由统计图可求得此人年龄不低于60岁的频率；
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求得P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)及P(X=3)，可求得X的分布列及数学期望；
(Ⅲ)举例说明，可判断这种说法不正确．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=x−1ex，
可得f′(x)=−x+2ex，
此时f′(0)=2，
又f(0)=−1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−(−1)=2(x−0)，
即2x−y−1=0；
(Ⅱ)易知函数f(x)的定义域为R，
所以f′(x)=−ax2−2ax+x−2ex=−(ax+1)(x−2)ex，
因为a>0，
令f′(x)=0，
解得x1=−1a，x2=2，
此时−1a