2024年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={1,2,4,6,8}，集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x=4a,a∈M}，则∁U(M∪N)=( )
A. {6}B. {4,6,8}C. {1,2,4,8}D. {1,2,4,6,8}
2.设复数z满足1+z1−z=−i，则|z|=( )
A. iB. 22C. 1D. 2
3.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为( )
A. y=xB. y=2x−1C. y=2x+1D. y=3x−2
4.已知单位向量a,b满足a⊥(a−2b)，则⟨a,b⟩=( )
A. 2π3B. π3C. π4D. π6
5.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是( )
A. 8B. 9C. 10D. 100
6.如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，如果中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
7.已知sin(π2−θ)+cs(π3−θ)=1，则cs(2θ−π3)=( )
A. 13B. −13C. 33D. − 33
8.已知m= 2eπ4，n=eπ3，p= 3e−π6，则( )
A. n>m>pB. m>p>nC. p>n>mD. m>n>p
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3a=5b，2b=3c，则( )
A. a=0.5
B. E(X)=2.3
C. D(X)=0.61
D. D(2X)=1.22
10.已知双曲线C的两个焦点分别为F1(−2 2,0),F2(2 2,0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2−y2=4，则条件p可以是( )
A. 实轴长为4B. 双曲线C为等轴双曲线
C. 离心率为 22D. 渐近线方程为y=±x
11.如图，点A，B，C是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y= 32相邻的三个交点，且|BC|−|AB|=π3，f(−π12)=0，则( )
A. ω=4
B. f(9π8)=12
C. 函数f(x)在(π3,π2)上单调递减
D. 若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图象，则|θ|的最小值为π24
12.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(2 x+1 x)6的展开式中常数项的二项式系数为______.
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点，则|QF|=______.
15.sinx=1的一个充分不必要条件是______.
16.已知A，B，C是半径为1的球面上不同的三点，则AB⋅AC的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1,a32=2a2⋅a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lgan 2，求证：1+bn0；
当x∈(π4,5π4)时，f′(x)f(π3)且f(π4)>f(−π6)，
所以 22eπ4>12eπ3且 22eπ4> 32e−π6，
即 2eπ4>eπ3且 2eπ4> 3e−π6，
所以m>n，m>p，
又n=eπ3>e,p= 3e−π6< 3e0= 3p，
综上所述，m>n>p.
故选：D.
观察选项，构造函数f(x)=excsx，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由题知a+b+c=1,3a=5b,2b=3c,解得a=0.5，b=0.3，c=0.2，A选项正确；
所以E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3，B选项正确；
D(X)=(1−2.3)2×0.2+(2−2.3)2×0.3+(3−2.3)2×0.5=0.61，C选项正确；
D(2X)=22⋅D(x)=2.44，D选项错误．
故选：ABC.
由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出a，b，c，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：设该双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则c=2 2，
对于A选项，若实轴长为4，则a=2，∴b2=c2−a2=4，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a=b，又c=2 2，a2+b2=c2=8，
可解得a2=b2=4，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为y=±x，则a=b，结合a2+b2=c2=8，可解得a2=b2=4，符合题意，
故选：ABD.
根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可．
本题考查双曲线的性质应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：令f(x)=sin(ωx+φ)= 32，可得ωx+φ=π3+2kπ或ωx+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
由图可知：ωxA+φ=π3+2kπ，k∈Z，
ωxC+φ=π3+2kπ+2π，k∈Z，
ωxB+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
所以|BC|=xC−xB=1ω(−π3+2π)，|AB|=xB−xA=1ω⋅π3，
所以π3=|BC|−|AB|=1ω(−2π3+2π)，
所以ω=4，故A正确；
可得f(x)=sin(4x+φ)，由f(−π12)=0得sin⁡(−π3+φ)=0，
所以−π3+φ=π+2kπ,k∈Z，
所以φ=4π3+2kπ，k∈Z，
所以f(x)=sin(4x+4π3+2kπ)=sin(4x+4π3)=−sin(4x+π3)，
可得f(9π8)=−sin(9π2+π3)=−12，故B错误；
当x∈(π3,π2)时，4x+π3∈(5π3,2π+π3)，
因为y=−sint在t∈(5π3,2π+π3)为减函数，故f(x)在(π3,π2)上单调递减，故C正确；
将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位得g(x)=−sin(4x+4θ+π3)，(θ0时向左平移)，
g(x)为偶函数得4θ+π3=π2+kπ，k∈Z，
所以θ=π24+kπ4，k∈Z，
则|θ|的最小值为π24，故D正确．
故选：ACD.
令f(x)= 32，求得xA，xB，xC，根据|BC|−|AB|=π3，求得ω=4，根据f(−π12)=0求得f(x)的解析式，再逐项验证BCD选项即可得解．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：设该正方体为ABCD−A1B1C1D1，且其棱长为a.
若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况．
①若中间的两个平面为平面A1BD和平面B1D1C，如图1所示，
则过A1，A，C作截面，截面图如图2所示，其中E，F分别为AC，A1C1中点，
此时E，F分别为AC，A1C1中点，则AE= 22a，AA1=a，A1E= 62a，
设相邻两平面间距离即A到A1E的距离为h，
则12× 22a×a=12× 62a×h，解得h= 33a，
∴ 33a=1，解得a= 3；
②若中间的两个平面如图3所示，过B，C，C1作截面，截面图如图4所示，其中M，N分别为BC，B1C1中点，
其中，M，N分别为BC，B1C1中点，
则BM=12a，AA1=a，A1E= 52a，
设相邻两平面间距离即为B到B1M的距离为d，
则12×12a×a=12× 52a×d，
解得d= 55a，∴ 55a=1，解得a= 5.
故选：BD.
设该正方体为ABCD−A1B1C1D1，且其棱长为a.若考虑4个平面中最中间的两个平面，分两种情况进行讨论，能求出结果．
本题考查正方体结构特征、截面、平面的位置分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】20
【解析】解：此二项式展开式的通项公式为Tr+1=C6r(2 x)6−r(1 x)r=26−rC6rx3−r，(r=0,1,2,3,4,5,6)，
则当r=3时，对应的为常数项，
故常数项的二项式系数为C63=20.
故答案为：20.
求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，求得答案．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由题知F(1,0)，设Q(x0,y0)，A(4,0)，其中x0≥0，
则|QA|= (x0−4)2+y02= x02−8x0+16+4x0= (x0−2)2+12，
由于点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点，
解得x0=2，所以|QF|=x0+1=3.
故答案为：3.
根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解，再由抛物线的焦半径公式即可求解．
本题考查二次函数的性质的应用及抛物线的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】x=π2(答案不唯一)
【解析】解：因为x=π2时sinx=1，
由sinx=1可得x=π2+2kπ,k∈Z，
故sinx=1的一个充分不必要条件是x=π2.
故答案为：x=π2(答案不唯一).
根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解．
本题主要考查了三角函数的性质以及充分不必要条件的应用，属于基础题．
16.【答案】−12
【解析】解：∵A，B，C是球面上不同的三点，
从而可得A，B，C三点确定平面ABC，
∴平面ABC截球面得到的是一个圆，设该圆半径为r(0