19，黑龙江省大庆六十九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份19，黑龙江省大庆六十九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 根据灯塔专业版实时数据显示，截至10月13日，电影《长津湖》累计票房达到43.28亿，位列中国影史票房榜第四位，将43.28亿用科学记教法表示为（ ）
A. 0.4328×1010B. 4.328×109C. 43.28×108D. 4.328×108
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：43.28亿．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．试卷源自 试卷上新，欢迎访问。3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可得，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，
∴，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键．
4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：D．
5. 小明对本班40名同学的血型情况做了调查，结果如下：
下面的扇形统计图中，能反映该调查结果的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出小明同学所在的班级的各血型的人数在扇形统计图中圆心角的度数，再根据四个选项判断即可．
【详解】依题意可得，小明同学所在的班级四种血型的人数所在扇形圆心角的度数分别是：
型：，选项不符合题意；
型：，选项不符合题意；
型：，选项不符合题意；
型：，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形统计图．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）

A. 7B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，

∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP最小值为5．
故选：B．
7. 如图，直角三角形的三个顶点均在抛物线上，并且斜边平行于轴，若斜边上的高为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h．
【详解】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴，
知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点，
可设，，，，，，
则斜边上的高为，
故，
是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
，
，
方程两边平方得，即，
因为，
所以，是个定值．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的性质，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．
8. 如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，
，
点，分别为，的中点，
，
，
，
△的面积，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
9. 如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
【详解】解：连接、，
四边形是菱形，
，
菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
与、与关于原点对称，
、经过点，
，
，
，
作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
10. 已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点，
当a≠0时，，∴，
故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为，
当a≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0
当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ ，
∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；
当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴时，函数取得最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应函数值，故③错误；
对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合；
a≠0时，对于函数，
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，
此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 函数y中自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≤2且x≠−3
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式：侧＝．即可求得
【详解】侧＝
故答案为10
【点睛】根本考查了圆锥的侧面积公式：侧＝，理解和牢记公式是解题的关键．
13. 袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知概率与概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：袋中装有个黑球和个白球，
袋中一共有球个，
从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴，
解得：（经检验符合题意）．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．
14. 函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得a的值．
【详解】解：∵y＝x2﹣2ax﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
当a≤1时，则x＝1时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝1﹣2a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝16﹣8a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝a2﹣2a2﹣1＝﹣5，解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
综上，实数a的值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15. 若关于的方程有正根，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解．先解分式方程，再根据且，即可得出的取值范围．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
且，
∴且，
且，
故答案为：且．
16. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货______．
【答案】17
【解析】
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
17. 如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．

【答案】；
【解析】
【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
【详解】

如图：延长至使，连接
在和中：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
18. 若m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，且a＜b，则m，n，a，b的大小关系是___（用“＜”连接）．
【答案】a＜m＜n＜b
【解析】
【分析】m、n可以看做函数y=（x-a）（x-b）与直线y=3的两个交点的横坐标，a、b可以看做函数y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的横坐标，由此画出函数图象，观察图象即可求解．
【详解】解：如图：∵m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x-a）（x-b）-3=0的两根，
∴m、n可以看做函数y=（x-a）（x-b）与直线y=3的两个交点的横坐标，
a、b可以看做函数y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的横坐标，
由图像可知：
a＜m＜n＜b，
故答案为a＜m＜n＜b．
【点睛】本题考查函数与方程思想，能将方程转化为函数与直线、x轴的交点问题是解题的关键．
三、计算题：本大题共1小题，共4分．
19. 计算：．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
四、解答题：本题共9小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；
（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
21. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元
【解析】
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数性质分析其最值．
【详解】解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，，连接，已知的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请直接写出一次函数的关系式为 ，反比例函数的关系式为 ；
（2）若点是点关于轴的对称点，求的面积；
（3）根据图像直接写出关于的不等式的解集是 ．
【答案】（1），
（2）32 （3）或
【解析】
【分析】（1）依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为，进而求出的坐标，将点，的坐标代入，可得一次函数解析式为；
（2）由已知求得，可得，根据即可求出结论；
（3）根据图像得出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：轴于点，
轴，
，
，
，
，
，
连接，如图所示：
轴，
，
，
，将代入，得，
反比例函数解析式为；
点在比例函数解析式为的图像上，
，解得，
，
将点，点代入，可得，解得，
一次函数解析式为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：令，得，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
；
【小问3详解】
解：根据图像得：不等式，即的解集为或．
【点睛】本题考查的是反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图像的解析式是解题的关键．
23. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）
【答案】米．
【解析】
【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】解：作于点，设米，
在中，，
则（米，
∵，且AE=8
∴
∴
在直角中，米，
在直角中，，
米．
，即．
解得：，
则米．
答：的高度是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D．
（3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得
，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A，B关于对称轴对称，
∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小．
设直线的解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，，
∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小．
（3）方法1：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴
，
当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法2：
如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为．
∴，，，，．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法3：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法4：
如图，设过点E与直线AC平行的直线为，
∴由，得，
当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，，
∴点E的坐标为．
设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为．
∴．
∵直线AC的解析式为，
∴．
∴点F到AC的距离为．
又∵，
∴的最大面积为，此时点E的坐标为．
25. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明；
（2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可．
【小问1详解】
证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，即．
【小问2详解】
解：连接，
方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB，
∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4,
∴，
∴AB=12，
∴的半径是6.
方法二：
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为6．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角函数的应用等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
26. 为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【解析】
【分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
【详解】解：（1）依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．
27. 如图，是的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）过点D作BE的平行线，利用平行线分线段成比例可推理得到，从而得到答案；
（2）过点D作BE的平行线，利用平行线分线段成比例可推理得到EG=CG，EG=2AE，从而得到答案．
【详解】解：（1）如图1，过点作，交AC于点F
∵AD是中线
∴BD=CD
∵
∴，
又∵，
∴
∴
又∵
∴
即：
（2）如图2，过点作，交AC于点G
∵
∴
∵AD是中线，，
∴BD=CD,
∴EG=CG，EG=2AE
又∵
∴5AE=AC
∴
【点睛】本题考查平行线段分线成比例，利用数形结合思想解题是解此类题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值；
（3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）或．
【解析】
【分析】（1）把x＝0代入抛物线解析式，即可求出点A坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴；
（2）根据抛物线开口向上，当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，即可求出a=1，根据抛物线性质即可求出当x＝5时，y有最大值，；
（3）根据已知条件分点P、Q都在对称轴x=2左侧、右侧、P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解．
【详解】解：（1）令x＝0则y＝2，
∴．点A坐标为（0，2）．
∵＝＝，
∴二次函数图象的对称轴是x＝2；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，
∴2－4a＝－2，
解得a＝1.
∴二次函数表达式为，
∴在时，当x＝5时，y有最大值，；
（3）∵点 P（，），Q（，），且，，都有，
∴①当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，，此时t+3≤2，解得t≤-1；
②当点P、Q都对称轴x=2右侧时，，此时t≥2；
③当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且，
此时2-（t+1）≥（t+3）-2或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1，
综上所述，或．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键．血型
型
型
型
型
人数（人）
16
10
10
4
衬衫价格
甲
乙
进价（元件）
售价（元件）
260
180