高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀导学案，文件包含421《指数函数的概念》导学案教师版docx、421《指数函数的概念》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共6页， 欢迎下载使用。


一．学习目标
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念（重点）
2.能从教材实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习指数函数的概念
三．课堂导学
(1)某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个,则经过2个小时,这种细胞能由1个分裂成多少个?
(2)如果将上述问题改为“经过x次分裂,这种细胞能由1个分裂成y个”,你能用分裂次数x表示个数y吗?
知识点一 指数函数的概念
一般地,函数y＝ ax (a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是 自变量 ,定义域是 R .
提醒 指数函数的结构特征
为什么指数函数的底数a＞0,且a≠1?
提示:①如果a＝0,当x＞0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义.
②如果 a＜0,例如y＝(-4)x,这时对于x＝12,14,…,该函数无意义.
③如果a＝1,则y＝1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a＞0,且a≠1.
1.(多选)下列函数一定是指数函数的是( )
A.y＝2x＋1 B.y＝3x C.y＝3·2x D.y＝3-x
解析:BD A:y＝2x＋1中指数是x＋1,所以不是指数函数,故错误;B:y＝3x是指数函数,故正确;C:y＝3·2x中底数前系数是3,所以不是指数函数,故错误;D:y＝3-x＝13x属于指数函数,故正确.
2.函数y＝(a-2)ax是指数函数,则( )
A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a＞0且a≠1
解析:C a-2=1,a>0,a≠1,解得a＝3.
3.若函数f(x)是指数函数,且f(2)＝2,则f(x)＝ .
解析:设f(x)＝ax(a＞0,a≠1),∵f(2)＝2,∴a2＝2,∴a＝2,即f(x)＝(2)x.
答案:(2)x
四．典例分析、举一反三
题型一 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中是指数函数的是 (填序号).
①y＝2·(2)x;②y＝2x-1;③y＝π2x.
(2)已知函数f(x)＝(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)①中指数式(2)x的系数不为1,故不是指数函数;②中y＝2x-1＝12·2x,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;③是指数函数.
(2)由题意可知2a-1>0,2a-1≠1,解得a＞12,且a≠1,所以实数a的取值范围是12,1∪(1,＋∞).
答案 (1)③ (2)12,1∪(1,＋∞)
练1-1. （1）下列各函数中,是指数函数的为( )
A.y＝x3 B.y＝(-4)x C.y＝5x＋1 D.y＝52x
解析:D A中,自变量出现在底数上,故不是指数函数;B中,自变量出现在指数上,但-4＜0,不满足“底数大于0且不等于1”的条件,故不是指数函数;C中,指数是x＋1,故不是指数函数;D中,y＝52x＝25x,符合指数函数的定义,故是指数函数.故选D.
（2）若y＝(a2-3a＋3)ax是指数函数,则有( )
A.a＝1或2 B.a＝1 C.a＝2 D.a＞0且a≠1
解析:C 由指数函数的定义得a2-3a+3=1,a>0,a≠1,解得a＝2.
题型二 指数函数的解析式或求值
【例2】若函数f(x)＝（12a-3）·ax是指数函数,则f（12）＝( )
A.2 B.-2 C.-22 D.22
解析 因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,a>0,a≠1,所以a＝8,所以f(x)＝8x,f（12）＝812＝22.
答案 D
练2-1. 已知函数f(x)为指数函数,且f-32＝39,则f(-2)＝ .
解析:设f(x)＝ax(a＞0且a≠1),由f-32＝39得,a-32＝39,所以a＝3,又f(-2)＝a-2,所以f(-2)＝3-2＝19.
答案:19
题型三 实际问题中指数型函数式的求解
【例3】 (1)为响应国家退耕还林的号召,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2019年的耕地面积为m,则2024年的耕地面积为( )
A.(1-0.1250)m D.(1-0.9110)m
(2)某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培养,细菌能达到的个数为( )
A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120
解析 (1)设每年减少的百分率为a,由题意得,(1-a)50＝1-0.1＝0.9,则1-a＝0.9150.由2019年的耕地面积为m,得2024年的耕地面积为(1-a)5m＝0.9110m.
(2)依题意,2＝ek,则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时,y＝10×27＝1 280.
答案 (1)B (2)B
练3-1. 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了 天.
解析:设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意,令2(a·2x)＝a·220,解得x＝19.
答案:19
五、课堂小结
六、当堂检测
1.下列各函数中,是指数函数的是( )
A.y＝(-3)x B.y＝-3x C.y＝3x-1 D.y＝13x
解析:D 根据指数函数的定义知,D正确.
2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝2x C.f(x)＝12x D.f(x)＝x13
解析:B 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1),则由f(3)＝8得a3＝8,∴a＝2,∴f(x)＝2x.
3.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间满足函数关系y＝c12mt(c,m为常数),求c,m的值.
解:由题意得c124m＝64,c128m=32,解得c=128,m＝14.故c,m的值分别为128,14.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字