高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品第二课时导学案

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一．学习目标
1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象（重点）
2.探索并理解对数函数的单调性与特殊点，熟练应用（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习对数函数的图像和性质习题
三．典例分析、举一反三
题型一 反函数
【例1】若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称,函数f(x)＝（12）-x,则f(2)＋g(4)＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 ∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称,f(x)＝（12）-x＝2x,∴g(x)＝lg2x,∴f(2)＋g(4)＝22＋lg24＝6.
答案 D
练1-1. 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数,则f(f(2))＝( )
A.16 B.0 C.1 D.2
解析:B 函数y＝2x的反函数是y＝lg2x,即f(x)＝lg2x.∴f(f(2))＝f(lg22)＝f(1)＝lg21＝0.
题型二 对数型函数图象的应用
【例2】(1)如图所示,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集是( )
A.{x｜-1＜x≤0} B.{x｜-1≤x≤1}
C.{x｜-1＜x≤1} D.{x｜-1＜x≤2}
(2)(多选)已知f(x)＝｜lg2x｜,若f(a)＞f(2),则a的值可以是( )
A.14 B.13 C.32 D.3
解析 (1)在平面直角坐标系中作出函数y＝lg2(x＋1)的大致图象,如图所示,且y＝lg2(x＋1)的定义域为(-1,＋∞).由图可知,f(x)≥lg2(x＋1)的解集是{x｜-1＜x≤1}.
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,由于f(2)＝f12,故结合图象可知0＜a＜12或a＞2.
答案 (1)C (2)ABD
练2-1. 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜lgax恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.（0,12）
解析:C 设f1(x)＝(x-1)2,f2(x)＝lgax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜lgax恒成立,只需f1(x)＝(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝lgax在(1,2)上的图象的下方即可.当0＜a＜1时,显然不成立.当a＞1时,如图所示,要使在区间(1,2)上,f1(x)＝(x-1)2的图象在f2(x)＝lgax的图象下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤lga2,lga2≥1,解得1＜a≤2,故选C.
题型三 对数型函数的最值与值域
【例3】求下列函数的值域:
(1)y＝lg3(2x-1),x∈[1,2];
(2)f(x)＝lg2x4·lg2x2(1≤x≤4).
解 (1)∵1≤x≤2,∴1≤2x-1≤3,∴0＝lg31≤lg3(2x-1)≤lg33＝1.
∴函数y＝lg3(2x-1),x∈[1,2]的值域是[0,1].
(2)∵f(x)＝lg2x4·lg2x2
＝(lg2x-2)·(lg2x-1)
＝lg2x-322-14,
又∵1≤x≤4,∴0≤lg2x≤2,
∴当lg2x＝32,即x＝232＝22时,f(x)取最小值-14;
当lg2x＝0,即x＝1时,f(x)取得最大值2,
∴函数f(x)的值域是-14,2.
练3-1. （1）已知函数f(x)＝3lg13x的定义域为[3,9],则函数f(x)的值域是 .
解析:∵y＝lg13x在(0,＋∞)上是减函数,∴当3≤x≤9时,lg139≤lg13x≤lg133,即-2≤lg13x≤-1,∴-6≤3lg13x≤-3,∴函数f(x)的值域是[-6,-3].
答案:[-6,-3]
（2）函数y＝lgax(a＞0,且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a＝ .
解析:当a＞1时,函数y＝lgax在[2,4]上单调递增,所以lga4-lga2＝1,即lga42＝1,所以a＝2.当0＜a＜1时,函数y＝lgax在[2,4]上单调递减,所以lga2-lga4＝1,即lga24＝1,所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.
答案:2或12
题型四对数函数性质的综合应用
【例4】 已知f(x)＝lg4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)求f(x)在区间12,2上的值域.
解 (1)由4x-1＞0,解得x＞0,
因此f(x)的定义域为(0,＋∞).
(2)设0＜x1＜x2,则0＜4x1-1＜4x2-1,
因此lg4(4x1-1)＜lg4(4x2-1),
即f(x1)＜f(x2),故f(x)在(0,＋∞)上是增函数.
(3)因为f(x)在区间12,2上单调递增,
又f12＝0,f(2)＝lg415,
因此f(x)在12,2上的值域为[0,lg415].
练4-1. 已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋ln(x-1)的图象经过点(3,3ln 2).
(1)求a的值,及f(x)的定义域;
(2)求关于x的不等式f(x)≤ln 2x的解集.
解:(1)由题意可得ln(3a＋1)＋ln(3-1)＝3ln 2,
即ln(3a＋1)＝2ln 2,所以3a＋1＝4,
解得a＝1,则f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x-1).
由x+1>0,x-1>0解得x＞1.
所以f(x)的定义域为(1,＋∞).
(2)由(1)可得f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x-1)＝ln(x2-1),x＞1,
不等式f(x)≤ln 2x可化为ln(x2-1)≤ln 2x,
因为y＝ln x在(0,＋∞)上是增函数,
所以01,
解得1＜x≤1＋2.
故不等式f(x)≤ln 2x的解集为{x｜1＜x≤1＋2}.
四、课堂小结
五、当堂检测
1.函数y＝2＋lg2x(x≥2)的值域为( )
A.(3,＋∞) B.(-∞,3)
C.[3,＋∞) D.(-∞,3]
解析:C 因为x≥2,所以lg2x≥1,所以y≥3.
2.若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a＝( )
A.14 B.12 C.2 D.4
解析:B 由题意得f(x)在[0,1]上单调递增或单调递减,∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得,即f(0)＋f(1)＝a,即1＋a＋lga2＝a,∴lga2＝-1,解得a＝12.
3.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0,且a≠1)的反函数,其图象经过点（32,23）,则a＝ .
解析:由题意得f(x)＝lgax(a＞0,且a≠1,x＞0),因为f(x)的图象过点（32,23）,所以lga32＝23,所以a23＝32,所以a2＝2,所以a＝2(负值舍去).
答案:2
4.已知函数f(x)＝lg2(1＋x2).
求证:(1)函数f(x)是偶函数;
(2)函数f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.
证明:(1)函数f(x)的定义域是R,
f(-x)＝lg2[1＋(-x)2]＝lg2(1＋x2)＝f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)设x1,x2为区间(0,＋∞)内的任意两个实数,且x1＜x2,
则f(x1)-f(x2)＝lg2(1＋x12)-lg2(1＋x22)＝lg21+x121+x22.
由于0＜x1＜x2,则0＜x12＜x22,0＜1＋x12＜1＋x22,
所以0＜1+x121+x22＜1,所以lg21+x121+x22＜0,
所以f(x1)＜f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.
六．课后作业
七、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字