高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀第二课时测试题

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1.已知函数f(x)＝5-lg3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是( )
A.(2,4] B.[2,4) C.[-4,4) D.(6,9]
解析:B f(x)＝5-lg3x在x∈(3,27]上单调递减,所以f(27)≤f(x)＜f(3),即2≤f(x)＜4.
2.函数y＝lg｜x｜是( )
A.偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增
B.偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减
C.奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
D.奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递减
解析:B 易知函数y＝lg｜x｜是偶函数.当x＞0时,y＝lg｜x｜＝lg x,所以在区间(0,＋∞)上单调递增.由偶函数的性质知,函数在区间(-∞,0)上单调递减.
3.若点(a,b)在函数y＝lg x的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )
A.（1a,b） B.（10a,1-b） C.（10a,b＋1） D.（a2,2b）
解析:D 因为点(a,b)在函数y＝lg x的图象上,所以b＝lg a.当x＝1a时,有y＝lg 1a＝-lg a＝-b,所以点（1a,b）不在此函数的图象上,A不正确;当x＝10a时,有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b,所以点(10a,1-b)不在此函数的图象上,B不正确;当x＝10a时,有y＝lg 10a＝1-lg a＝1-b,所以点（10a,b＋1）不在此函数的图象上,C不正确;当x＝a2时,有y＝lg a2＝2lg a＝2b,所以点(a2,2b)在此函数的图象上,D正确.
4.已知函数y＝lg2(x2-2kx＋k)的值域为R,则k的取值范围是( )
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1 C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
解析:C 令t＝x2-2kx＋k,由y＝lg2(x2-2kx＋k)的值域为R,得函数t＝x2-2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ＝4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.
5.(多选)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x2)＝2f(x) B.f(2x)＝f(x)＋f(2) C.f12x＝f(x)-f(2) D.f(2x)＝2f(x)
解析:ABC 因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数,所以f(x)＝lgax(a＞0且a≠1).所以f(x2)＝lgax2＝2lgax＝2f(x),f(2x)＝lga2x＝lga2＋lgax＝f(x)＋f(2),f12x＝lga12x＝lgax-lga2＝f(x)-f(2).所以选项A、B、C正确.
6.(多选)已知函数f(x)＝(lg2x)2-lg2x2-3,则下列说法正确的是( )
A.f(4)＝-3
B.函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y＝f(x)的最小值为-4
D.函数y＝f(x)的最大值为4
解析:ABC A正确,f(4)＝(lg24)2-lg242-3＝-3;B正确,令f(x)＝0,得(lg2x＋1)(lg2x-3)＝0,解得x＝12或x＝8,即f(x)的图象与x轴有两个交点;C正确,因为f(x)＝(lg2x-1)2-4(x＞0),所以当lg2x＝1,即x＝2时,f(x)取最小值-4;D错误,f(x)没有最大值.
7.如果函数f(x)＝(3-a)x与g(x)＝lgax的单调性相同,则实数a的取值范围是 .
解析:若f(x),g(x)均为增函数,则3-a>1,a>1,即1＜a＜2;若f(x),g(x)均为减函数,则0<3-a<1,0答案:(1,2)
8.设a＞1,函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12,则a＝ .
解析:∵a＞1,∴f(x)＝lgax在[a,2a]上单调递增,∴lga(2a)-lgaa＝12,即lga2＝12,∴a12＝2,a＝4.
答案:4
9.函数f(x)＝lg2x·lg2(2x)的最小值为 .
解析:由题意得f(x)＝12lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝（lg2x＋12）2-14≥-14,当且仅当lg2x＝-12,即x＝22时,等号成立,因此函数f(x)的最小值为-14.
答案:-14
10.已知函数f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3-x)(a＞0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值.
解:(1)由题意得1+x>0,3-x>0,解得-1＜x＜3.所以f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)＝lga[(1＋x)(3-x)]＝lga(-x2＋2x＋3)＝lga[-(x-1)2＋4],-1＜x＜3,
若0＜a＜1,则当x＝1时,f(x)有最小值lga4,
所以lga4＝-2,即a-2＝4.又0＜a＜1,所以a＝12.
若a＞1,则当x＝1时,f(x)有最大值lga4,f(x)无最小值.
综上可知,a＝12.
11.函数f(x)＝lg(x2+1＋x)的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
解析:A 易知该函数的定义域为R,又f(x)＋f(-x)＝lg(x2+1＋x)＋lg(x2+1-x)＝lg[(x2+1＋x)·(x2+1-x)]＝lg 1＝0,∴f(x)＝-f(-x),∴f(x)为奇函数.
12.(多选)任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,若f（x1＋x22）＞f(x1)＋f(x2)2恒成立,则f(x)称为[a,b]上的凸函数,下列函数中在其定义域上为凸函数的是( )
A.y＝2x B.y＝lg2x
C.y＝-x2 D.y＝x12
解析:BCD 由题意知,若函数f(x)为凸函数,则在函数y＝f(x)的图象上任取两个不同的点A,B,线段AB(原点除外)总在f(x)图象的下方,分别作出四个函数的图象,如图所示.观察各函数在定义域上的图象,知y＝lg2x,y＝-x2,y＝x12是凸函数,故选B、C、D.
13.设函数f(x)＝｜lg2x｜.若0＜a＜1＜b且f(b)＝f(a)＋1,则a＋4b的取值范围为 .
解析:函数f(x)＝｜lg2x｜的图象如图所示.∵0＜a＜1＜b且f(b)＝f(a)＋1,∴lg2b＝-lg2a＋1,∴lg2b＋lg2a＝1,lg2(ab)＝1,即ab＝2,∴a＋4b＝a＋4×2a＝a＋8a.利用对勾函数的性质知,函数y＝a＋8a在(0,1)上单调递减,∴y＞1＋81＝9,∴a＋4b的取值范围为(9,＋∞).
答案:(9,＋∞)
14.设函数f(x)＝lg ax+1(a∈R),且f(1)＝0.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)在区间(0,＋∞)上的单调性,并用单调性的定义证明.
解:(1)函数f(x)＝lg ax+1(a∈R),且f(1)＝0,
则f(1)＝lg a2＝0.则a2＝1,解得a＝2.
(2)f(x)＝lg 2x+1在区间(0,＋∞)上单调递减.
证明:设0＜x1＜x2,f(x1)-f(x2)＝lg 2x1+1-lg 2x2+1＝lg x2+1x1+1＝lg(x2＋1)-lg(x1＋1),
因为0＜x1＜x2,所以lg(x2＋1)＞lg(x1＋1),
即f(x1)＞f(x2),即函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减.
15.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1＝3lgax,y2＝2lgax和y＝lgax(a＞1)的图象上,则实数a＝ .
解析:设B(x,2lgax),∵BC平行于x轴,∴C(x',2lgax),即lgax'＝2lgax,∴x'＝x2,∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2-x＝2,解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴,∴A(x,3lgax),正方形ABCD边长｜AB｜＝3lgax-2lgax＝lgax＝2,即lga2＝2,∴a＝2.
答案:2
16.已知函数f(x)＝1x-lg21+x1-x,x∈(0,1),求使关系式f(x)＞f（13）成立的实数x的取值范围.
解:先求函数f(x)的单调性,在(0,1)内任取0＜x1＜x2＜1,则f(x1)-f(x2)＝1x1-lg21+x11-x1-（1x2-lg21+x21-x2）
＝x2-x1x1x2＋lg2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)
＝x2-x1x1x2＋lg2(1+x1)(1-x2)+2(x2-x1)(1+x1)(1-x2)
＝x2-x1x1x2＋lg2［1＋2·x2-x1(1+x1)(1-x2)］.
因为0＜x1＜x2＜1,所以x2-x1x1x2＞0且x2-x1(1+x1)(1-x2)＞0,所以x2-x1x1x2＋lg2［1＋2·x2-x1(1+x1)(1-x2)］＞lg21＝0,即f(x1)-f(x2)＞0,可见函数f(x)在(0,1)上单调递减.
由此可见要使f(x)＞f（13）成立,只需0＜x＜13.
故所求实数x的取值范围为（0,13）.