22，江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份22，江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
2. 下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理分别计算并判断．此题考查了勾股定理逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴不能组成直角三角形；
B、∵，∴不能组成直角三角形；
C、∵，∴不能组成直角三角形；
D、，∴能组成直角三角形；
故选：D．试卷源自 试卷上新，欢迎访问。3. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BCD. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的面积为75，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题．
【详解】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（ ）

A. 0.7米B. 0.4米C. 0.8米D. 1米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题中求的长度是解题的关键．
在直角三角形中，已知根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解：在直角中，已知，
则，
∵
，
∵在直角中，，且为斜边，
，
，
∴梯足将外移的长度为，
故选：C．
6. 如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（ ）
A. 3B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，本题关键是作辅助线证明三角形全等，从而得出为的中位线，利用中位线定理解决问题．延长交与点，证明，得到，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：延长交与点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
又点是中点，
是的中位线，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
8. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则______．
【答案】48°##48度
【解析】
【分析】先利用平角计算得出，再根据平行四边形的对角相等即可得出结果．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，理解平行四边形的对角相等是解题关键．
9. 计算：______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算．利用完全平方公式计算即可求解．
详解】解：
，
故答案为：8．
10. 如图，在平行四边形中对角线、相交于点O，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，则，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时．
【答案】0.4
【解析】
【分析】连接AC，在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，CD，AD的长度符合勾股定理确定AC⊥CD，则可计算△ACD的面积，又因为△ACD的面积可以根据AD边和AD边上的高求得，故根据△ACD的面积可以求得C到AD的最短距离，即△ACD中AD边上的高．
【详解】解：连接AC，
在直角△ABC中，AB=3km，BC=4km，则AC==5km，
∵CD=12km，AD=13km，故存在AD2=AC2+CD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
∴△ACD的面积为×AC×CD=30km2，
∵AD=13km，∴AD边上的高，即C到AD的最短距离为km，
游艇的速度为11km/小时，
需要时间为小时=0.4小时．
故答案为 0.4．
点睛：
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了直角三角形面积计算公式，本题中证明△ACD是直角三角形是解题的关键．
12. 在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
【答案】3或或
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：如图

∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC=×8=4，
由勾股定理得，AB=

当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD=，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，

解得，x=
故答案为：3或或.
【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：四边形是平行四边形
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式性质化简，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）首先根据二次根式性质化简，再合并即可；
（2）根据平行四边形的性质先得出，，再根据，得到即可得出结论．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
14. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
（2）求剩余木料的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）利用面积公式进行计算即可；
本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：两个正方形木板的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为：
,
．
【小问2详解】
这两个正方形的边长分别为：，
∴剩余木料的面积为．
15. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114（cm2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【小问1详解】
解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
【小问2详解】
解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，与的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，点即为所求；

同（1）可证：，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
同法可得：，
∴，
∴，
∴．
17. 如图所示，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点．

（1）求证：．
（2）连接，若平分，且当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由线段的中点得到线段相等的条件，再由平行线的性质得到角相等的条件，即可证得；
（2）由平行线的性质及角平分线定义，导出，得到，由（）得，再由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出的长．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，，
又，
．
【小问2详解】
∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）的周长为
【解析】
【分析】本题考查了三角形中点四边形，中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
19. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）13
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式；
（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积；
20. 秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
（1）如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积．
（1）根据题意，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）根据得以得到，再根据面积可以得到，计算即可．
【小问1详解】
由题意，，
∴．
即的面积为；
【小问2详解】
由题意，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，即
∴．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证；
（3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）知，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：由（1）知，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
在中，由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴平行四边形的面积＝的面积．
22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
且，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
【小问3详解】
解：
．
六、（本大题共12分）
23. 综合与实践；
【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．
【答案】（1）正确，理由见解析（2）正确，理由见解析（3）6
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质及已知条件得，由平行四边形的定义即可求证；
（2）连接，由折叠的性质得，，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，由对顶角性质及等腰三角形的性质得，由余角的性质可得，从而可得，即可求证；
（3）由两角对应相等的三角形相似可得，由相似三角形的性质得，设，则有，，由勾股定理得，，，即可求解．
【详解】（1）结论正确；
理由如下：
由折叠得：，
，
折痕与夹角为，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）结论正确；
理由如下：
如图，连接，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
N是的中点；
（3）解：，，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
，
由（2）得：，
，
，
设，则有，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故的长为．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，能结合折叠的性质将已知条件转化到直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键．