福建省福州市六校联考2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市六校联考2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A.B.C.D.
3．设，，，则( )
A.B.C.D.
4．已知边长为1的正方形，设，，，则( )
A.1B.2C.3D.4
5．函数是( )
A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2
C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为2
6．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知中，角A，B满足，则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍
B.一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同
C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
D.若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，则这两组数据中较稳定的是甲
10．已知，，且，则( )
A.的最大值为2B.的最小值为2
C.的最大值是1D.的最小值是1
11．在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E是棱的中点，，则( )
A.
B.直线与平面所成角的正弦值是
C.异面直线与所成的角是
D.四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是
12．已知为等差数列的前n项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．复数，则________.
14．已知抛物线的顶点为，且过点A，B.若是边长为的等边三角形，则________.
15．若不等式有唯一解，则a的值为________.
四、双空题
16．设，，其中.当，时，________；当时，的一个取值为________.
五、解答题
17．如图，在中，，，交于点D，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18．如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
19．在递增的等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：在上单调递增；
（3）判断与的大小关系，并加以证明.
21．已知椭圆C：的离心率为，且C上的点到右焦点F的距离最长为3.
（1）求C的标准方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，的中垂线与x轴交于点G，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
22．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：，由得
故选：B
2．答案：A
解析：对于A选项，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数.
对于B选项，函数在区间上不单调；
对于C选项，函数在上不单调；
对于D选项，当时，，则在上单调递减；
故选：A.
3．答案：C
解析：根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；
由三角函数单调性可知；
利用指数函数单调递增可得；
所以.
故选：C
4．答案：B
解析：因为是边长为1的正方形，，，，
所以
又，所以
故选：B
5．答案：C
解析：由题可知，的定义域为，关于原点对称，
且，
而，即函数为偶函数；
所以，又，，，
即，可得函数最小值为0，无最大值.
故选：C
6．答案：D
解析：画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得c的取值范围是.
故选：D
7．答案：D
解析：若双曲线C的离心率为2，则，
所以，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为；
所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的充分条件；
反之，双曲线C的一条渐近线为，
若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为，所以，
离心率；
若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为，所以，
离心率；所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的必要条件；
综上：“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
8．答案：C
解析：，
，
设函数，上面不等式即为，
又，是R上的增函数，
，而A，B是三角形内角，
，
即，，
，，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
由，，
由正弦定理可得，故D错误.
故选：C.
9．答案：AB
解析：对于A中，根据数据的平均数的计算公式，
若将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍，所以A正确；
对于B中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为，
由众数和中位数的概念，可得数据的众数为3，中位数为，
所以数据的平均数、众数和中位数都相同，所以B正确；
对于C中，将数据从小到大排序，可得1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
因为，所以分位数为，所以C错误；
对于D中，若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，
根据方差的概念，可得这两组数据中较稳定的是乙，所以D错误.
故选：AB.
10．答案：BC
解析：因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得或.因为，，所以，故A错误，B正确；
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，因为，所以解得，所以，故C正确，D错误.
故选：BC.
11．答案：AB
解析：如图，连接.
因为底面是正方形，所以，
因为平面，所以，
所以平面，则，故A正确.
由题意易证，，两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系.
设，则，，，，，
从而，，，.
设平面的法向量，则，
令，得.设直线与平面所成的角为，
则，故B正确.
设异面直线与所成的角为，则，
从而，故C错误.
四棱锥的体积，
由题意可知四棱锥外接球的半径，
则其体积，
从而四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是，故D错误.
故选：AB.
12．答案：ACD
解析：由为等差数列的前n项和，所以，即；
又，设等差数列的公差为d，所以，所以，
所以，故A正确；
由选项A可知，所以，
所以
，故B错误；
由选项A可知，所以，，
所以，即数列是首项为3，公差为4的等差数列，
所以
，故C正确；
由选项A可知，
当且时，；
当且时，；
当且时，；
当时，；
所以，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：，因此，.
故答案为：.
14．答案：1
解析：设，，则,即，
所以，由于，，，又，所以，因此，故A，B关于x轴对称，由，，得,将代入抛物线中得，所以，
故答案为：1
15．答案：
解析：由题意可知，不等式有唯一解，
令，
要使有唯一解，
只需使与有一个交点，即方程有唯一解，
即方程有唯一实数根，
，即，解得：.
故答案为：.
16．答案：；
解析：根据题意可得当，时，可得，，
所以；
当时，即，
整理可得，即，
可得，所以的一个取值为.
故答案为：；
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，所以的面积
.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：连接.因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，
所以，则.
因为，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以A为坐标原点，以射线，，分别为x轴，y轴，z轴的正半轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则
设平面的法向量为，则，令，则.
，
记平面和平面夹角为，则.
19．答案：（1）；
（2）；.
解析：（1）由题意可得，
解得，，则，.
故.
（2）由（1）可得，则.
故
20．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3），证明见解析.
解析：（1），所以，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题设，.所以.
当时，因为，
所以.所以在上单调递增.
（3）.
证明如下：设.则.由（2）知在上单调递增，所以.
所以，即在上单调递增.1
所以，即.1
21．答案：（1）；
（2）为定值，且定值为4.
解析：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得：，
解得：，，，
椭圆C的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
，，的中点为.联立
整理得：，
由题意可知：，则，，
.
H为的中点，，，即.直线的方程可设为，
令得：，则，
.
当直线l的斜率为0时，，，则.
综上所述：为定值，且定值为4.
22．答案：（1），，单调递增；
，，单调递减；
（2）证明见解析；
解析：（1）的定义域为，
当时，，在上单调递减；
当时，令，又因为，可解得，
，，单调递增，，，单调递减；
（2）由（1）知当时，所以，即.
即当时，，
将不等式累加后，得到：
，
即.