甘肃省酒泉市2024届高三下学期第三次诊断考试（5月）数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省酒泉市2024届高三下学期第三次诊断考试（5月）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则( )
A.-3B.3C.4D.5
3．已知点M在抛物线上，若点M到点的距离为3，则点M到x轴的距离为( )
A.4B.3C.2D.1
4．若，则( )
A.B.C.D.
5．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，，甲、乙两台车床的正品率分别为，．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，，若，则( )
A.B.C.D.
7．函数，其部分图象如图所示，则( )
A.B.C.D.
8．在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A.B.C.D.
10．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点．则下列结论正确的是( )
A.若Q为中点，则平面
B.若Q为中点，则平面
C.不存在点Q，使得
D.PQ与平面所成角的正弦值最小为
11．已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则( )
A.B.当时，
C.D.不等式解集为
三、填空题
12．若展开式中x的系数与的系数之和为__________．
13．若圆M的圆心在x轴上，且与直线相切，则圆M的标准方程可以为__________．（写出满足条件的一个答案即可）
14．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则__________．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对任意，都有成立，求实数a的取值范围．
16．为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为3:2．
（1）完成下面的列联表：
（2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？
（3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，．
17．如图，在三棱柱中，底面三角形ABC是边长为4的正三角形，侧面是菱形，且平面平面ABC，E，F分别是棱，BC的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若①三棱锥的体积为8；②与底面ABC所成角为；③异面直线与AE所成的角的大小为.请选择一个条件求平面EFG与平面所成角（锐角）的余弦值.
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的右顶点为A，，过坐标原点的直线l与C交于E，F两点，与直线AB交于点M，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的5倍，求直线l的斜率．
19．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．
（1）记，求证：；
（2）记为整数n的二进制表达式中的0的个数，如，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）．
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，解得，故，
.
故选：C
2．答案：D
解析：由题意可知：，所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
若点M到点的距离为3，即点M到直线的距离为3，
所以点M到x轴的距离为.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为，即，
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：设事件A表示为“任选一件零件为甲车床生产的”，
事件B表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件C表示为“任选一件零件为正品”，
则，，，，
所以.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为，则，即，
由正弦定理可得，
又因为A，，则，
即，所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：设的最小正周期为T，
由题意可知：，，即，
且，则，
可得，
由图象可知：为的最大值点，
则，，解得，
且，可知，，所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：
由题可得四棱锥为正四棱锥，即有.因为，所以异面直线PB与AD所成的角为，取BC中点E，则，所以.从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为，，所以内切球的半径为.
设四棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为R，则，则，解得，所以.
9．答案：BCD
解析：因为，又，所以，，
又，即，
所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD.
故选：BCD
10．答案：AB
解析：对于A，连结，由P为线段的中点，Q为中点，
在中，PQ为的中位线，所以，
平面，平面，所以平面，
故选项A正确；
对于B，连结，，由Q为中点，由A的证明可知，
由为正方体，所以四边形为正方形，
所以，又平面，平面，
所以，由，所以平面，
再由，所以平面，所以选项B正确；
对于C，由为正方体，设棱长为2a，
所以，P为线段的中点，
所以，又因为，且，
所以四边形为平行四边形，故，
所以，所以当点Q与点B重合时，，故C错误；
对于D，取中点H，连结PB，设正方体棱长为2a，
则在中，P为线段的中点，H为中点，
所以PH为中位线，所以，
又因为平面，所以平面，
PQ与平面所成角为，则，
由，即，
所以欲使PQ与平面所成角的正弦值最小，即最小，
可知当P与点B重合时，最大，最小，可知最小，
此时，，，
所以，故选项D错误；
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：构造函数，其中，
因为函数为定义在上的奇函数，则，
所以，故函数为偶函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，则，则.
因为，所以，即，，故A正确；
不妨取，则，，B错误；
因为偶函数在上单调递增，则，
即，整理可得，C正确；
当时，由可得，解得，
当时，由可得，解得.
综上所述，不等式解集为，D正确.
故选：ACD.
12．答案：30
解析：因为的展开式通项为，，1，2，…，6
令，解得，可得x的系数为；
令，解得，可得x的系数为；
所以x的系数与的系数之和为.
故答案为：30.
13．答案：（答案不唯一）
解析：不妨设圆心为，则到直线的距离，
故圆M的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）
14．答案：
解析：因为，则，
若，则；
若，则，
可得，即；
可知，也满足，所以.
可得，
所以．
故答案为：.
15．答案：（1），无极小值；
（2）
解析：（1）函数的定义域为R，且，
所以当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
即对任意恒成立，
令，，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以，即实数a的取值范围为.
16．答案：（1）列联表见详解；
（2）“阅读达标情况”与“性别”有关联；
（3）分布列见详解，
解析：（1）由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200，
阅读达标的女生与男生的人数比为，，
据此可得列联表：
（2）零假设：“阅读达标情况”与“性别”没有关联，
由（1）可得：，
依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以“阅读达标情况”与“性别”有关联.
（3）因为抽取5人中男、女生人数分别为，
由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
，，，
所以X的分布列为
数学期望为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取中点D连接DB，则，，
所以四边形DEFB为平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
（2）选①，，，
取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设平面EFG的法向量为，
则，即，令，则，
选择条件②：与底面ABC所成的角为60°，，
，点O为AC的中点，，
取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设平面EFG的法向量为，
则，即，令，则，
．
选择条件③：，即为异面直线与AE所成的角，
即，，，，
即，取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设平面EFG的法向量为，
则，即，令，则，
．
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，
又，所以，，则双曲线C的方程为；
（2）由（1）可得，，
则直线AB的方程为，
设，，，，由题意可知，，
由的面积是面积的倍，可得，即，
所以，
由，消去y，可得，解得，
由，消去y，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
当时，，，符合题意，
所以直线l的斜率为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）5；（ⅱ）3280
解析：（1）因为，
，
，
，
；
（2）（ⅰ），
；
（ⅱ），
，故从到中，
有、、…、共8个，
有个，由，即共有个，
有个，由，即共有个，
……，
有个，
.
性别
阅读达标情况
合计
阅读达标
阅读不达标
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
阅读达标情况
合计
阅读达标
阅读不达标
男生
80
120
200
女生
120
80
200
合计
200
200
400
X
0
1
2
P