广东省广州市2024届高三下学期二模数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市2024届高三下学期二模数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为( )（若，则，
3．某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有( )
A.24种B.48种C.60种D.96种
4．某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对.已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
5．已知，，是三个不重合的平面，且，，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，则
C.若，，则D.若，则
6．若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”.若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于y轴对称，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R，且，，则( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．已知函数，则( )
A.的定义域为
B.的图像在处的切线斜率为
C.
D.有两个零点，，且
10．在梯形ABCD中，，，，，，则( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点为，点P是C的右支上一点，则( )
A.的最小值为8
B.若直线与C交于另一点Q，则的最小值为6
C.为定值
D.若I为的内心，则为定值
三、填空题
12．已知复数的实部为0，则______.
13．已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为______.
14．用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台.根据祖桓原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中，分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，h是两个平行平面之间的距离.已知圆台的上、下底面的圆周都在球O的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球O所得的球台的体积比圆台O的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为______.
四、解答题
15．治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈.
(1)补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；
(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用X表示回访中治愈者的人数，求X的分布列及均值.
附：，
16．已知等差数列的前n项和为，，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和为，求证：.
17．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且.
(1)求证：；
(2)若四边形BEDF为正方形，求平面ABF与平面ADE夹角的正弦值
18．已知点F是抛物线的焦点，C的两条切线交于点，A，B是切点.
(1)若，，求直线AB的方程；
(2)若点P在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值；
(3)证明：.
19．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由解得，或，即，
，
.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，
其中，所以果实横径在的概率为
.
故选：B.
3．答案：D
解析：由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有种.
故选：D
4．答案：C
解析：若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；
若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；
若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件；
若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件；
故做对的是丙，说对的是甲.
故选：C.
5．答案：C
解析：若，，则或l与m相交，故A错误；
若，则或与相交，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，则与相交，不一定是垂直，故D错误.
故选：C.
6．答案：D
解析：且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
，即有两个不同实根，
令，则在上有两个不同实根，
，
则a的取值范围为.
故选：D.
7．答案：A
解析：由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，，而，于是，，
若将函数的图像向右平移个单位后，得到，
则，，而，因此，，
所以当时，取得最小值为.
故选：A
8．答案：A
解析：由题意可知：函数的定义域为R，
因为，则，
可得，所以为偶函数，
由可得，
即，整理得，
可得，
则，可得，
所以6为的周期，
由，，
令，可得，可得；
令，可得，可得；
所以.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：由题意，，
对于选项A，易知，且，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项A可知，易知在和上单调递增，
因为，
，
所以，使得，
又因为，则，结合选项C，得，
即也是的零点，则，，故，故选项D正确，
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：在中，，，
则，，
由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，即，故D正确.
故选：ABD
11．答案：AC
解析：对A，得，，，
所以，，
所以，
当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，
即的最小值为8，故A正确；
对B，若直线l经过，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，
与双曲线C的两个交点为，，此时，故B错误；
对C，因为，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
对D，因为I为的内心，则I不恒在双曲线C上，
不为定值，故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：复数的实部为0，
，.
.
故答案为：.
13．答案：
解析：由已知可得：，，，
线段AF的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：设圆台的一条母线为AB，过点A作的垂线，垂足为C，
则即为母线与底面所成的角为，
设圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，，
则，，
即，即，，
圆台体积为，
球台的体积为
，
由题意，
则，
即，
即，即，
设圆台外接球的球心为O，半径为R，则O在所在直线上，
设，则，
由，
解得，，
则球的表面积，
台体侧面积，
故，
，
由，可得，则，则，
故的取值范围为，
故答案为：.
15．答案：(1)表格见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；
(2)分布列见解析，
解析：（1）根据已知数据补全列联表如下所示：
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好，
所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好；
（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名，
所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访，
用X表示回访中治愈者的人数，其中X的可能取值有5，6，7，
则，，6，7，所以X服从超几何分布列，即
，，
故分布列为：
所以.
16．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）因为等差数列中，，又，
所以，即①，
因为为等差数列，所以，
令时，，即，则②，
结合①②，解出，，则，
所以的通项公式为.
（2）由题设得，即，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以，
因为，所以，所以，即证.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）证明：因为矩形ABCD是圆柱的轴截面，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且，，
所以，不妨设为，
因为AB，CD均为底面圆的直径，所以，
所以，所以，又，
所以，
所以.
（2）如图，设EG为圆柱的母线，则底面CFDG，
连接GC，GD，，以G为坐标原点，GC，GD，GE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，四边形BEDF为正方形，
，，，
所以，.
所以，，，，，.
平面ADE的法向量为.
设平面ABF的法向量为，
又，，
所以，取，则，
所以，
所以平面ABF与平面ADE夹角的余弦值为，
所以平面ABF与平面ADE夹角的正弦值为.
18．答案：(1)；
(2)16；
(3)证明见解析.
解析：（1）由题知，抛物线，
切线斜率不为0，设切线为，
与联立，得，
，解得或3，
时，，则，，切点为；
时，，则，，切点为，
故直线AB方程为，即.
（2），设，，
由题意易知抛物线的切线不与y轴垂直，设切线为，
与联立，得，，则，
即，，
故抛物线在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
联立可得，
又P在直线上，故，即①，
点F到PA的距离为，
，
故，
同理可得，
故
，
将①式代入可得：
，
令，则，
则
，
故当时，有最小值为.
（3）由（2）知，
则
，
由抛物线定义可得
，
故，即.
，
，
，
，
则，
又与范围均为，
故，
结合，可得.
19．答案：(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
解析：（1）因为，
当时，，此时有一个零点；
当时，，所以-1不是函数的零点，
令，
故只需讨论与的交点个数即可，
，
因为，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
由题的图象如图所示：
故当，与有一个交点，
当时，与有2个交点；
综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点.
（2）函数，，
当时，，所以函数只有一个极值点，不满足条件；
当时，，所以函数无极值点；
当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为，，，时，，
所以函数在上无零点，在上有一个零点，
所以；
当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为，，时，，
，
所以函数在上有一个零点，且，
所以，
综上，.
药物
疗效
合计
治愈
未治愈
创新药
传统药
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
药物
疗效
合计
治愈
未治愈
创新药
40
10
50
传统药
280
120
400
合计
320
130
450
X
5
6
7
P