2024年中考数学【高分·突破】考点07函数的综合与实际应用(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点07函数的综合与实际应用(原卷版+解析)，共36页。
一、单选题
1．在米接力赛中，一直处于落后状态的九（1）班在第四棒成功逆袭，战胜九（2）班．这两支代表队行驶的路程（米）与时间（秒）之间的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．在四边形中，，点从点出发，沿运动，点同时以相同的速度从点出发，沿运动，结果同时到达点的面积与点运动的路程满足的函数关系如图所示，其中为抛物线的一部分．根据图象得出下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．清明节这天，某校组织师生到附近的烈士陵园参加革命传统教育和扫墓等主题活动，如图是学校到烈士陵园的路线示意图及师生队伍去烈士陵园过程中行驶路程y（千米）和行驶时间t（分钟）之间的函数图象．队伍经过位于山顶的革命烈士纪念塔时，在纪念塔前倾听了10分钟的革命传统宣讲报告，然后到达烈士陵园进行一系列祭扫活动，结束后队伍沿原路返回学校，返程中在革命烈士纪念塔前休息和拍照留念共停留了5分钟，假设队伍在上坡、下坡和平地路段的速度分别相同，则队伍从烈士陵园返回学校所需要的时间是（ ）

A．47分钟B．48.5分钟C．52分钟D．53.5分钟
4．已知二次函数，，，是抛物线上的三点，其中且，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在某个b的值，使得D．该函数图象存在与x轴只交于一点的情况
5．如图表示甲乙两车某个行驶过程中速度随时间变化的图象．则表示乙的行驶路程正好是甲行驶路程4倍的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直线）上学，途中发现忘带盒饭，停下来往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法：
①打电话时，小刚和妈妈的距离为米；
②小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的度为米分；
③打完电话后，经分钟小刚到达学校；
④小刚家与学校的距离为米．其中正确的个数是（ ）

A．个B．个C．个D．个
7．用绘图软件绘制直线，直线与坐标轴的交点分别为，，其中不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．若使点在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的（为整数），则的图象是（ ）

A． B．
C． D．
8．已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．一次函数（k、b为常数，）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，n＜0；③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
10．如图，已知点，，，，，……在轴正半轴上，分别以，，，，……为边在第一象限作等边，等边，等边，……，且点，，，，……在反比例函数上，且，则点的坐标为 .
11．直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，则下列说法正确的有 （将正确的序号填在横线上）．
①；
②点恒在抛物线上；
③是定值；
④矩形面积为定值；
⑤和的面积之和为定值．

12．如图，在中，，点A是函数的图像上一点，点B是第四象限内的点，则的最小值为 ．（用含m的代数式表示）

13．如图，坐标平面内正方形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，过正方形内一点P分别作轴，轴，点E、F、D、G在正方形的边上，且有．过点P的反比例函数与AB交于点H，已知，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．

14．某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：

（1）k＝ ；
（2）过点A作轴于点F．已知，，，．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 （精确到万位，并用科学记数法表示）．
三、解答题
15．李强用甲、乙两种弹簧同时称量相同质量的物体，甲弹簧比乙弹簧长度变化快．在弹簧的弹性限度内，弹簧总长与所挂物体质量之间近似满足一次函数关系，根据纪录的数据，画函数图像如下：
(1)不挂重物时弹簧的长度是_______；
(2)求乙弹簧总长关于的函数关系式；
(3)当甲弹簧总长达到时，乙弹簧总长是_______．
16．为了进一步保护好人们的眼睛，某公司投资生产了一种护眼台灯．这种台灯的成本为每盏20元，公司派一名销售员进行市场销售，第一个月以每盏22元的售价出售了280盏．第二个月进行了市场调查，每盏台灯提高0.5元就少销售5盏台灯，设第二个月月销售量为y（盏）与销售单价x（元），在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的．
(1)请求出销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)设第二个月的利润为w（元），求出第二个月的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，第二个月的销售利润最大，最大利润为多少元．
(3)如果公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，那么公司第二个月的成本最少需要多少元？
17．如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为．
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？
(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．
18．甲、乙两台机器共同加工一批零件，两个机器生产的速度均保持不变，一起加工一段时间后，乙机器因故障停止工作，甲机器单独完成了剩下的任务，甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间（小时）之间的函数图像如图所示．
(1)甲机器每小时生产______个零件；
(2)求出乙机器因故障停止工作后与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲机器加工的零件数和乙机器加工的零件数相同时，求乙机器已停止工作多少小时？
19．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E．
(1)根据图象的对称性，可知A点坐标为 ，B点坐标为 ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)求的面积．
20．已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．
A
B
x
﹣1
3
y
n
﹣3
压轴热点考点07 函数的综合与实际应用
压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、单选题
1．在米接力赛中，一直处于落后状态的九（1）班在第四棒成功逆袭，战胜九（2）班．这两支代表队行驶的路程（米）与时间（秒）之间的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意结合函数图象获取信息是关键．
根据一直处于落后状态的九（1）班在第四棒成功逆袭，战胜九（2）班分析判断．
【详解】解：∵一直处于落后状态的九（1）班在第四棒成功逆袭，战胜九（2）班，
∴在区间1班追上2班并超越，
∴选项D符合题意，
故选：D．
2．在四边形中，，点从点出发，沿运动，点同时以相同的速度从点出发，沿运动，结果同时到达点的面积与点运动的路程满足的函数关系如图所示，其中为抛物线的一部分．根据图象得出下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，从函数图象获取信息是关键；由图象可知，当时，点到达点，此时，则由面积为2可判定①；由图可知，则可判定②；由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，易证明，即可判定③；当时，由勾股定理求得，与比较即可判定④，最后即可确定答案．
【详解】解：由图象可知，当时，点到达点，此时，
，
；
结论①正确；
由图可知，
，
结论②正确；
连接，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴；
∵点到达点，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∴，
，
∴，
，
，
；
结论③正确；
当时，点到达点，
，
结论④错误．即正确结论有3个；
故选：C．
3．清明节这天，某校组织师生到附近的烈士陵园参加革命传统教育和扫墓等主题活动，如图是学校到烈士陵园的路线示意图及师生队伍去烈士陵园过程中行驶路程y（千米）和行驶时间t（分钟）之间的函数图象．队伍经过位于山顶的革命烈士纪念塔时，在纪念塔前倾听了10分钟的革命传统宣讲报告，然后到达烈士陵园进行一系列祭扫活动，结束后队伍沿原路返回学校，返程中在革命烈士纪念塔前休息和拍照留念共停留了5分钟，假设队伍在上坡、下坡和平地路段的速度分别相同，则队伍从烈士陵园返回学校所需要的时间是（ ）

A．47分钟B．48.5分钟C．52分钟D．53.5分钟
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握分段的一次函数的图象和性质，路程与速度和时间的关系，是解决问题的关键．
根据去时的路程时间图象求出队伍在上坡路和下坡路上的速度，求出返回时上坡路和下坡路的时间，根据往返平路上的时间不变和拍照的时间求出返回时的总时间．
【详解】队伍去烈士陵园过程中在上坡路上的速度，
（千米/分钟），
队伍去烈士陵园过程中在下坡路上的速度，
（千米/分钟），
队伍返程中上坡路用时，（分钟），
队伍返程中下坡路用时，（分钟），
队伍返程中平路用时不变，12分钟，
∴队伍返程中总共用时，（分钟）．
故选：D．
4．已知二次函数，，，是抛物线上的三点，其中且，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在某个b的值，使得D．该函数图象存在与x轴只交于一点的情况
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向， 根据点 坐标与对称轴的关系可判断 A、B，将 代入函数解析式可得 的值，从而判断选项C，令方程 中 可判断选项 D．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下， 对称轴为直线 ，
若 ，则 ，
解得 ，选项 A 不正确；
同理若 ， 则 ，选项 B 不正确；
将 代入 得 ，
解得 ，选项 C 正确；
令 ，
，
解得 ，选项 D 不正确；
故选 C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
5．如图表示甲乙两车某个行驶过程中速度随时间变化的图象．则表示乙的行驶路程正好是甲行驶路程4倍的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别表示出甲、乙行驶的路程，进而得出答案．
【详解】、由图象可得：甲行驶的路程为：，
乙行驶的路程为：，故乙的行驶路程是甲行驶路程四倍，故此选项正确，符合题意；
、由图象可得：甲行驶的路程为：，
乙行驶的路程为：，故乙的行驶路程是甲行驶路程2倍，故此选项错误，不符合题意；
、由图象可得：甲行驶的路程为：，
乙行驶的路程为：，故甲的行驶路程与乙行驶路程相等，故此选项错误，不符合题意；
、由图象可得：甲行驶的路程为：，
乙行驶的路程为：，故甲的行驶路程与乙行驶路程相等，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象，正确表示出甲、乙行驶的路程是解题关键．
6．早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直线）上学，途中发现忘带盒饭，停下来往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法：
①打电话时，小刚和妈妈的距离为米；
②小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的度为米分；
③打完电话后，经分钟小刚到达学校；
④小刚家与学校的距离为米．其中正确的个数是（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可．
【详解】解：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米是正确的；
②打完电话后5分钟两人相遇后，妈妈的速度是米分，走的路程为米，回家的速度是米分，所以回家的速度为15米分是错误的；
③因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过分钟小刚到达学校，所以是正确的；
④小刚家与学校的距离为米，所以是正确的．
∴正确的有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了函数的图象的实际意义，结合题意正确理解函数图象，利用基本行程问题解决问题．
7．用绘图软件绘制直线，直线与坐标轴的交点分别为，，其中不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．若使点在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的（为整数），则的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】已知的可视范围是，根据得到，可视范围是，故，求k的最小整数解即可．
【详解】∵已知的可视范围是，
根据得到，
∴可视范围是，
∴，
解得
故k的最小整数解为，
故选B．
【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键．
8．已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．
【详解】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
9．一次函数（k、b为常数，）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，n＜0；③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
【答案】①
【分析】将点、代入，求出；①中，由可得，所以正确；②中，由可得，所以不正确；③中，分两种情况和分别求的面积，则有当时，，当时，，分别求出的值为或7，所以不正确；④与轴的交点为，所以，所以不正确．
【详解】解：由表可知，一次函数经过点，，
将点、代入，
得，
解，
①当时，，
，
①正确；
②当的值随值的增大而增大时，，
，
，
②不正确；
③与轴的交点为，与轴的交点为，
当时，，
解得；
当时，，
；
综上所述，当时，或；
故③不正确；
④，
，
，
与轴的交点为，
，
，
故④不正确；
故答案为：①．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的性质，会求函数图象上两点与原点围成三角形面积是解题的关键．
10．如图，已知点，，，，，……在轴正半轴上，分别以，，，，……为边在第一象限作等边，等边，等边，……，且点，，，，……在反比例函数上，且，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出、、的坐标，得出规律，进而求出点的坐标．
【详解】解：如图，作轴于点，设，则，
，．
点在反比例函数上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为，；
作轴于点，设，则，
，，．
点在反比例函数上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为，；
同理可得点的坐标为，即；
以此类推，
点的坐标为，，
点的坐标为，．
故答案为，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出、、的坐标进而得出点的规律是解题的关键．
11．直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，则下列说法正确的有 （将正确的序号填在横线上）．
①；
②点恒在抛物线上；
③是定值；
④矩形面积为定值；
⑤和的面积之和为定值．

【答案】①②④⑤
【分析】先求出B的坐标为，C的坐标为，再令求得A的坐标为，由此可得A为的中点，即，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；由得，从而得出点恒在抛物线上，故②正确；由得的值与b相关，不是定值，故③错误；由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；由于和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确．
【详解】解：令直线，得，即B的坐标为，
令，，即C的坐标为，
令，得①，
∵与（）的图象只有一个公共点A，
∴，
∴方程①的解，
∴A的坐标为，
∴A为的中点，即，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；
∵，
∴点恒在抛物线上，故②正确；
∵，
∴的值与b相关，不是定值，故③错误；
由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；
∵的面积，
∴和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解一元二次方程，令求得的坐标为是解决此题的关键．
12．如图，在中，，点A是函数的图像上一点，点B是第四象限内的点，则的最小值为 ．（用含m的代数式表示）

【答案】
【分析】根据正切的意义得到，则，求得的最小值，即可求得的最小值．
【详解】解：在中，，
，
当取得最小值时，的值最小，
当点在直线上时，最小，
设，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得的最小值是解题的关键．
13．如图，坐标平面内正方形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，过正方形内一点P分别作轴，轴，点E、F、D、G在正方形的边上，且有．过点P的反比例函数与AB交于点H，已知，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】35
【分析】先根据反比例函数的解析式可得，设，则，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于即可得．
【详解】解：对于反比例函数，
当时，，
，
正方形是正方形，轴，轴，，
四边形和四边形都是矩形，四边形和四边形都是正方形，
，，
设，
则，
，
将点代入得：，
图中阴影部分的面积为
，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
14．某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：

（1）k＝ ；
（2）过点A作轴于点F．已知，，，．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 （精确到万位，并用科学记数法表示）．
【答案】 640
【分析】（1）通过待定系数法可直接求出k的值；
（2）过点B作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，通过可求出cm，当时，，即可求得A点的坐标，通过求出cm，即可求出，从而求出体积．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点B作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，

①∵，，，
∴cm，
∵，,
∴cm，
∵双曲线，
∴当时，，
∴，
故答案为：；
②∵cm，，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴包装箱的体积至少为，
采用科学记数法，且精确到万位得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和直角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数和直角三角函数的相关知识．
三、解答题
15．李强用甲、乙两种弹簧同时称量相同质量的物体，甲弹簧比乙弹簧长度变化快．在弹簧的弹性限度内，弹簧总长与所挂物体质量之间近似满足一次函数关系，根据纪录的数据，画函数图像如下：
(1)不挂重物时弹簧的长度是_______；
(2)求乙弹簧总长关于的函数关系式；
(3)当甲弹簧总长达到时，乙弹簧总长是_______．
【答案】(1)；
(2)乙弹簧总长关于的函数关系式为；
(3)．
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及利用待定系数法求一次函数解析式，从所给图象获取需要的信息是解题的关键．
（1）观察图象，即可解题．
（2）由图象可知乙弹簧图象过点和，设乙弹簧总长关于的函数关系式为，利用待定系数法求出一次函数解析式即可解题．
（3）由（2）同理求出甲弹簧总长关于的函数关系式，算出甲弹簧总长达到时的值，将的值代入（2）中解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，当时，，
不挂重物时弹簧的长度是，
故答案为：．
（2）解：由图象可知乙弹簧图象过点和，
设乙弹簧总长关于的函数关系式为，
将代入中，有，解得，
乙弹簧总长关于的函数关系式为，
（3）解：由图知，甲弹簧图象过点和，
设甲弹簧总长关于的函数关系式为，
将代入中，有，解得，
甲弹簧总长关于的函数关系式为，
当时，有，解得，
将代入中，有，
当甲弹簧总长达到时，乙弹簧总长是，
故答案为：．
16．为了进一步保护好人们的眼睛，某公司投资生产了一种护眼台灯．这种台灯的成本为每盏20元，公司派一名销售员进行市场销售，第一个月以每盏22元的售价出售了280盏．第二个月进行了市场调查，每盏台灯提高0.5元就少销售5盏台灯，设第二个月月销售量为y（盏）与销售单价x（元），在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的．
(1)请求出销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)设第二个月的利润为w（元），求出第二个月的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，第二个月的销售利润最大，最大利润为多少元．
(3)如果公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，那么公司第二个月的成本最少需要多少元？
【答案】(1)
(2)，当销售单价为32元时，销售利润最大，最大利润为2160元
(3)公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，公司第二个月的成本最少为3600元
【分析】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出每天销售量（盏）与销售单价（元）之间的函数关系式，然后根据在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的，可以得到关于的不等式组，然后求解即可得到的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出与的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可求解；
（3）令，解方程后，结合，抛物线开口向下．可知当时，．设每月的成本为（元），由题意，得，可知随的增大而减小．可知当时，的值最小，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
∵销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的，
∴，解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）由题意得，
，
∵，对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，此时，
即：当销售单价为32元时，销售利润最大，最大利润为2160元．
（3）令得，
解这个方程得：，．
∵，抛物线开口向下．
∴当时，．
∵
∴当时，．
设每月的成本为（元），由题意，得：
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，的值最小，．
即：公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，公司第二个月的成本最少为3600元．
17．如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为．
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？
(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)486盏
(3)货车无论从哪条车道都能安全通过，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入即可求出函数关系式，化为顶点式，即可求出拱顶到地面的距离；
（2）令，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求解；
（3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
，
代入，得，
解得，
．
拱顶到地面的距离为．
（2）解：令，
解得，
，
（盏）．
答：共需要486盏吊灯．
（3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过．
理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．
设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为，即，
当时，，
∴货车无论从哪条车道都能安全通过．
18．甲、乙两台机器共同加工一批零件，两个机器生产的速度均保持不变，一起加工一段时间后，乙机器因故障停止工作，甲机器单独完成了剩下的任务，甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间（小时）之间的函数图像如图所示．
(1)甲机器每小时生产______个零件；
(2)求出乙机器因故障停止工作后与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲机器加工的零件数和乙机器加工的零件数相同时，求乙机器已停止工作多少小时？
【答案】(1)3
(2)
(3)当甲机器加工的零件数和乙机器加工的零件数相同时，乙机器已停止工作小时
【分析】本题考查了由函数图象中获取信息、一次函数的应用，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据图象列式计算即可；
（2）设乙机器因故障停止工作后与的函数表达式为：，将和代入得：，求解即可得出答案；
（3）先求出乙机器每小时加工的零件个数，从而得出乙机器一共加工了零件个数，再列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：甲机器每小时生产个零件，
故答案为：；
（2）解：设乙机器因故障停止工作后与的函数表达式为：，
将和代入得：，
解得：，
乙机器因故障停止工作后与的函数表达式为；
（3）解：乙机器停止前，甲乙机器每小时加工零件：（个），
乙机器每小时加工的零件个数为：（个），
乙机器一共加工了（个），
（小时），
当甲机器加工的零件数和乙机器加工的零件数相同时，乙机器已停止工作小时．
19．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E．
(1)根据图象的对称性，可知A点坐标为 ，B点坐标为 ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)求的面积．
【答案】(1),
(2)
(3)5
【分析】（1）根据题意得到关于原点对称即可得到答案；
（2）把代入即可得到函数解析式；
（3）连接、，得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．
关于原点对称，
，
点坐标为，B点坐标为，
故答案为,；
（2）解：把代入得，，
反比例函数解析式为；
（3）解：连接、，
轴，
，
，
的面积为5．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例解析式是解题的关键．
20．已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；
（2）联立方程组得，则，同理可得：，结合（1）的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．
（3）设解析式，联立得，设，，，，由平行四边形的性质可得，，可求得，再由点在抛物线上，可得，即，解得：，故直线过定点．
【详解】（1）解：，
令，得，
解得：，，
，，
，
设交轴于点，交轴于点，如图，

，
，
又，
，
，
的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，
，，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，
；
（2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，
则，
同理可得：，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
设的解析式为，
则，
，
，
，
即，
，
，
解得：，
又，
，即直线与直线平行，
一定与定直线平行；
（3）证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得，
，
设，，，
，
，且四边形为平行四边形，
，，
，，
，，
，
点在抛物线上，
，
，
解得：，
直线过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
A
B
x
﹣1
3
y
n
﹣3