2024年中考数学【高分·突破】考点08三角形的相关概念及性质(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点08三角形的相关概念及性质(原卷版+解析)，共32页。
一、单选题
1．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
2．如图，中，是的平分线，是中线，与交于点F，于点D，连接，且，四边形的面积是27，则的面积与的面积之差为（ ）

A．27B．18C．9D．3
3．如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（ ）

A．B．
C． D．
4．有一内角是的直角三角尺与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F．若的平分线平行于直尺的短边，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．如图，两平面镜与的夹角为α，一条光线经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反，则α的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只，与此同时在港口处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰也收到了相关指令，驱逐舰恰好在可疑船只的南偏东的方向上，则可疑船只距离港口的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（ ）

A．1B．C．D．
8．在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（ ）

A．一直变小B．保持不变C．先变小，后变大D．一直变大
二、填空题
9．如图，已知的面积为18，点M和点N分别为边和边上的中点，分别连接相交于点P．

（1） ；
（2）的面积为 ．
10．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
11．如图，已知的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为 ．
12．如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
13．如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，，．

（1）a，b相交所成的锐角为 ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 时，可使直线．
14．如图，在中，，， ．若将沿折叠，点A与边的点恰好重合，点，分别在，上．将沿折叠，点与点恰好重合．将沿折叠，点与点恰好重合，则四边形的周长为 ．

15．如图，在△ABC中，AB＝4，点P为AC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，将∠A、∠C分别沿PE、PF折叠，使点A、C分别落在边AB、BC上的点G、H处．
（1）当∠B＝50°时，则∠GPH＝ ．
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，则PE＋PF的值为 ．
16．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 ．
三、解答题
17．如图，城市发生了小型地震，地震发生后，城市的甲救援队与城市的乙救援队同时接到讯息，同时乘直升机赶往城市．城市在城市的正东方向，城市位于城市的北偏东方向上，位于城市的北偏东方向上，已知城市之间的距离为．若甲救援队的飞行速度为，乙救援队的飞行速度为．问哪支救援队先到达城市？请说明理由．（参考数据：，，）
18．某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形，直角顶点分别在边上．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求的值．
19．如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N．
(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题
若，则______（直接写出结果）
(2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论
(3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果）
20．如图，中，．
(1)尺规作图：作的高，垂足为H；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)要在空地上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少元？
压轴热点考点08 三角形的相关概念及性质
压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、单选题
1．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．
如图1，当点在线段上时，；

如图2，当点在的延长线上时，，
∴的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
2．如图，中，是的平分线，是中线，与交于点F，于点D，连接，且，四边形的面积是27，则的面积与的面积之差为（ ）

A．27B．18C．9D．3
【答案】C
【分析】延长，交的延长线于点G，证明，可得，，再证明，可得，从而可得，由四边形的面积是27，可得，再根据是的中线，可得，从而求得，即可求解．
【详解】解：延长，交的延长线于点G，如图所示，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵四边形的面积是27，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之差为9，
故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（ ）

A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得，再由，，，，半径相等，，再由点P为的重心，可知，得，最后列式即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点O作于H，连接，，如图所示，设点A到的距离为h：

∵，
∴当点A到的距离最大时，三点共线，
∴，，
∵，
∴，，，
∵在，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点P为的重心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
4．有一内角是的直角三角尺与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F．若的平分线平行于直尺的短边，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
设与交于点M，根据角平分线的定义和外角的性质求得，然后利用直角三角形两锐角互余计算求解．
【详解】解：设与交于点M，如图，
∵，且平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
故选：B．
5．物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．如图，两平面镜与的夹角为α，一条光线经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反，则α的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别过点E、G作，，垂线相交于点D，由入射角等于反射角，可得，，再根据平行线的性质可得，即，再由，，可得，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：分别过点E、G作，，垂线相交于点D，
∵入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故选：C

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只，与此同时在港口处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰也收到了相关指令，驱逐舰恰好在可疑船只的南偏东的方向上，则可疑船只距离港口的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题目条件，，得到是直角三角形，由的正弦定义即可求解．
【详解】解：船只在港口北偏东方向，在港口A处北偏东方向，
，
驱逐舰在可疑船只的南偏东的方向上，
，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方位角的应用，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最小得到以为直径的与相切于点F，设与交于点G，连接，，与交于点H，设，则，设 ， 则，，，利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得值，即可得到答案；
【详解】解：∵最小，
∴为直径的与相切于点F，如图所示，

设与交于点G，连接，，与交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴为梯形的中位线，
∴，
∵，
∴设，则，设 ， 则，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键．
8．在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（ ）

A．一直变小B．保持不变C．先变小，后变大D．一直变大
【答案】B
【分析】利用证明，得，从而，则可得出结论．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，
由题意得：，，，
在和中，
，
（），
，
，
的值保持不变．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
二、填空题
9．如图，已知的面积为18，点M和点N分别为边和边上的中点，分别连接相交于点P．

（1） ；
（2）的面积为 ．
【答案】 6
【分析】（1）利用中位线的性质，证明，即可解答；
（2）根据同高的两个三角形之比等于底边之比即可解答．
【详解】解：（1）点M和点N分别为边和边上的中点，
且，
，
，
；
（2），
，
．
故答案为：；6．
【点睛】本题考查了中位线的判定及性质，中线的性质，利用等高的三角形的面积之比为底边之比是解题的关键．
10．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
【答案】 高
【分析】（1）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；
（2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）由折叠的性质可知，，，
∴折痕是的高．
故答案为：高；
（2）∵由折叠的性质可知，，
∴．
故答案为：15．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
11．如图，已知的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为 ．
【答案】4
【分析】由作图知M，N分别为的中点，利用中位线定理得出，再利用等底同高三角形面积相等得，最后利用相似比得出面积比，即可得解；
【详解】连，由作图知M，N分别为的中点，
∴，
由等底同高三角形面积相等得
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4
【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识点，，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
12．如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
【答案】 角平分线
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可；
（2）根据题意，得到三条路线，在上截取，连接，证明，利用三角形的三边关系，即可得到最短路径．
【详解】解：（1）∵厂房O到每条公路的距离相等，
∴点O为三条角平分线的交点；
故答案为：角平分线．
（2）如图：
有三条路线可走：，
在上截取，连接，
∵点O为三条角平分线的交点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
同理，
∴最短，
即最短路线长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
13．如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，，．

（1）a，b相交所成的锐角为 ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 时，可使直线．
【答案】
【分析】（1）由三角形外角的性质得到，即可得到a，b相交所成的锐角；
（2）过点O作于点B，垂足为点B，则，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，直线a，b相交所成的锐角为，

∵，，．
∴，
即a，b相交所成的锐角为，
故答案为：
（2）如图，过点O作于点B，垂足为点B，
则，
∵，
∴，
即直线a绕点O最少旋转，可使直线．
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
14．如图，在中，，， ．若将沿折叠，点A与边的点恰好重合，点，分别在，上．将沿折叠，点与点恰好重合．将沿折叠，点与点恰好重合，则四边形的周长为 ．

【答案】14
【分析】将沿折叠，点A与边的点恰好重合，得是的中位线，可证明四边形为矩形，根据，可得，即可解答．
【详解】解：∵将沿折叠，点A与边的点恰好重合，
∴是的中位线，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，含角的直角三角形，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握上述知识点．
15．如图，在△ABC中，AB＝4，点P为AC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，将∠A、∠C分别沿PE、PF折叠，使点A、C分别落在边AB、BC上的点G、H处．
（1）当∠B＝50°时，则∠GPH＝ ．
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，则PE＋PF的值为 ．
【答案】 80° 2
【分析】（1）根据三角形的内角和与折叠的性质即可求解；
（2）根据四边形BHPG为平行四边形时得到△ABC是等边三角形，再根据解三角形的性质即可求解．
【详解】（1）当∠B＝50°时，则∠A+∠C=130°，
由折叠可得，∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠AGP+∠PHC=130°，
∴∠APG+∠CPH=（180°-∠A-∠AGP）+（180°-∠C-∠PHC）=360°-（∠A+∠C）-（∠AGP+∠PHC）=100°，
∴∠GPH=180°-（∠APG+∠CPH）=80°，
故答案为：80°；
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，ABPH，GPBC，
∴∠AGP=∠B，∠PHC=∠B，
∵∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形，AC=AB=4，
∴在Rt△AGP和Rt△PCF中，PE＋PF=APcs60°+PCcs60°=（AP+PC）cs60°=ACcs60°=4×=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平行四边形与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形的性质、三角形内角和定理、折叠的性质、解直角三角形的方法．
16．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 ．
【答案】
【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，再利用三角形的外角可知∠CDB＝2α，然后在Rt△CDB中利用勾股定理先求出BD即可解答．
【详解】解：∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，
在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，
∵BC2+BD2＝CD2，
∴32+x2＝（5﹣x）2，
∴x＝1.6，
∴BD＝1.6，
∴tan∠CDB＝，
∴tan2α＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义解题关键．
三、解答题
17．如图，城市发生了小型地震，地震发生后，城市的甲救援队与城市的乙救援队同时接到讯息，同时乘直升机赶往城市．城市在城市的正东方向，城市位于城市的北偏东方向上，位于城市的北偏东方向上，已知城市之间的距离为．若甲救援队的飞行速度为，乙救援队的飞行速度为．问哪支救援队先到达城市？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】乙救援队先到达城市．理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键是掌握直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用，三角函数的应用题常常需要作垂线段，构造直角三角形．
法一：如图1，过点作的延长线于点．则，甲救援队到达城市所用的时间为，则乙救援队到达城市所用的时间约为，然后比较时间的大小关系并作答即可；法二：如图2，过点作，垂足为．设，则．由三角形内角和定理可求，则．由可得，即可求，乙救援队到达城市所用的时间约为，然后比较时间的大小关系并作答即可．
【详解】解：乙救援队先到达城市，理由如下：
法一：解：如图1，过点作的延长线于点．
由题意得，，
∵，
∴，甲救援队到达城市所用的时间为，
∵，
∴乙救援队到达城市所用的时间约为，
∵，
∴乙救援队先到达城市．
法二：解：如图2，过点作，垂足为．
∴甲救援队到达城市所用的时间为，
设，
由题意得，，
∴．
，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴乙救援队到达城市所用的时间约为，
∵，
∴乙救援队先到达城市．
18．某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形，直角顶点分别在边上．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质得，再利用三角形内角和性质即可得到本题答案；
（2）根据题意利用正方形性质得，再利用相似三角形判定得，后利用对应边成比例即可得到本题答案；
（3）根据（2）中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
（2）解：四边形是正方形，
和都是等腰直角三角形，
，
和都是直角三角形，
，
由（1）得，
．
，即，
；
（3）解：设，则，
，
由（2）知：，
，
，解得：，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质．熟悉相关图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
19．如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N．
(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题
若，则______（直接写出结果）
(2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论
(3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果）
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据，，，可得是的中位线，从而可证，即可得到，即可求出结果；
（2）过点B作，交的延长线于点E，根据可得，证明可得，从而可得，再证明，即可求出结果；
（3）过点A作，，根据，，可得是的中线，，由（2）可知，设，，，分别表示出，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，，
，，
∴点D、M分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
故答案为：2．
（2）解：过点B作，交的延长线于点E，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
又，，
，
．
（3）解：过点A作，，
，，
，，
是的中线，
，
设，，，
由（2）可知，
，
，
，
，
，
又因为，
，
，
．
【点睛】本题考查了中位线的性质和判定、三角形相似的性质和判定和平行线的性质及中线的性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
20．如图，中，．
(1)尺规作图：作的高，垂足为H；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)要在空地上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少元？
【答案】(1)见解析
(2)元
【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点M、N，分别以M，N为圆心画弧，两弧相交于点P，过点C，点P作直线交于点H，则即为的高；
（2）先求出的长，由三角形面积公式求出的面积，再乘以a即可．
【详解】（1）如图，即为所求作，
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴一共需要元
【点睛】本题主要考查了作三角形的高，直角三角形的性质以及三角形面积公式的应用，正确画出高是解答本题的关键．