2024年中考数学【高分·突破】考点12圆的概念、性质与位置关系(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点12圆的概念、性质与位置关系(原卷版+解析)，共35页。
一、单选题
1．如图，的直径，直线l与相切于点B，将线段绕点B顺时针旋转得线段，E是l上一点，连接，则的长可以是（ ）

A．1B．1.2C．1.4D．1.6
2．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A．B．C．D．
3．在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在中，，点为上一点，以5为半径作分别与，相切于，两点，与交于点，连接交于点，连接，，若点为的中点，给出下列结论：①平分；②点为的中点；③；④的长度为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
5．如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论：
结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是；
结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则．
下列判断正确的是（ ）

A．Ⅰ和Ⅱ都正确B．Ⅰ和Ⅱ都错误C．Ⅰ错误Ⅱ正确D．Ⅰ正确Ⅱ错误
6．如图，点A是外的任意一点，点B是线段的中点，以B为圆心，以长为半径的圆交于点C、D．则下列命题不一定是真命题的是（ ）

A．、是的切线B．是线段的垂直平分线
C．是等边三角形D．
7．如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法：
甲：若添加条件，则；
乙：若添加条件是劣弧的中点，则．
下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．甲、乙两人都对D．甲、乙两人都不对
8．如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，是的外接圆，为的直径，，点为半径上一点，延长与交于点，过点作，交延长线于点若为中点，则 ．

10．已知：如图，是的直径，垂直弦于点，则在不添加辅助线的情况下，图中与相等的角是 （写出一个即可）．

11．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．

12．如图，为直径的与相切于点，连接，，分别交于点，．连接，，若，，则的度数为 度．
13．如图，在菱形中，是上的点，，连接，与过三点的相切于点，已知，则 °．

14．如图，与正方形相切点，点在上，点是的中点，连结、、，设，，当时，则与的关系为 ．

三、解答题
15．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径．
(2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______．
16．如图，与相切于点两点均在上，，点在弦上，．
(1)若，求的度数；（用含的式子表示）
(2)求证：．
17．如图，是的外接圆，，是的切线．

(1)求证：．
(2)在备用图中，仅用无刻度的直尺在上作出点，连接，使得．（请保留作图痕迹，并标注相应的字母，不写作法）
(3)在（2）的条件下，记与的交点为．若是边长为6的等边三角形，则 ．
18．如图，是的内接三角形，点、分别在直径、弦上，点在线段的延长线上，连接．

(1)请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
①；②；③是的切线；
你选择的补充条件是______，结论是______；（填写序号）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的半径．
19．如图，为的直径，点C在上．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在上作点D，使得线段，且线段与相交；
(2)在（1）的条件下，与相交于点P，若，求 的度数．
20．如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径．
思路分析：如图1．连接，则存，，设．
于是有，
∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径．
若已知的三边长，如何求的面积呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若
则秦九韶公式为．
例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积．
解：，
……
压轴热点考点12 圆的概念、性质与位置关系
压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、单选题
1．如图，的直径，直线l与相切于点B，将线段绕点B顺时针旋转得线段，E是l上一点，连接，则的长可以是（ ）

A．1B．1.2C．1.4D．1.6
【答案】D
【分析】过点 作 ，垂足为 ，利用切线的性质可得 ， 再根据旋转的性质可得：，从而可求出 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后根据垂线段最短即可解答．
【详解】如图：过点 作 ，垂足为 ，

∵直线 与 相切于点 ，
∴，
由旋转得：
∴当点 与点 重合时， 有最小值为 ，
∴，
∵，
∴，
∴ 的长可以是 1.6 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质， 旋转的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据同弧所对的圆周角相等可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用托勒密定理，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，首先根据题意得到点A，F，P三点共线，然后证明出四边形是矩形，得到，证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，

由题意可得，点E、F、D共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A，F，P三点共线，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，相似三角形的性质和判定，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．如图，在中，，点为上一点，以5为半径作分别与，相切于，两点，与交于点，连接交于点，连接，，若点为的中点，给出下列结论：①平分；②点为的中点；③；④的长度为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】连接，，分别与和相切，证明平分，根据平行线分线段成比例定理证明为的中点，再利用弧长公式求出弧长．
【详解】如图，连接，．

∵分别与和相切，
∴，且，，
∴平分，故①正确；
∵点为的中点，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点，
∵，
∴，
故点为的中点，故②正确；
由①知，，
∴，
∴，
故③正确；
由③可知：垂直平分，
∴，
∴
，
∴的长度为，
故④正确，
故选D．
【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的基本性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉圆的性质并构造辅助线．
5．如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论：
结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是；
结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则．
下列判断正确的是（ ）

A．Ⅰ和Ⅱ都正确B．Ⅰ和Ⅱ都错误C．Ⅰ错误Ⅱ正确D．Ⅰ正确Ⅱ错误
【答案】A
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系得到故结论Ⅰ正确，根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质可得到结论Ⅱ正确．
【详解】解：①∵当点与点重合时，
线段与圆只有一个公共点，此时；
②当线段所在的直线与圆相切时，如图所示，
线段与圆只有一个公共点，
∵，，，
∴，
∴，
∴当线段与只有一个公共点时，的范围是；
故结论Ⅰ正确；

连接，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
∴，
故结论Ⅱ正确；
故选．

【点睛】本题考查了切线的的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角所对的圆周角是直角，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关
6．如图，点A是外的任意一点，点B是线段的中点，以B为圆心，以长为半径的圆交于点C、D．则下列命题不一定是真命题的是（ ）

A．、是的切线B．是线段的垂直平分线
C．是等边三角形D．
【答案】C
【分析】连接、、、，根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理判断A；根据线段垂直平分线的判定和性质判断B、D．
【详解】解：连接、、、，
由题意得：是的直径，
∴，
∵、是的半径，
∴、是的切线，故选项A是真命题，不符合题意；
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，故选项B、D是真命题，不符合题意；
不能确定是等边三角形，故选项C不一定是真命题，符合题意；
故选：C．

【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
7．如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法：
甲：若添加条件，则；
乙：若添加条件是劣弧的中点，则．
下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．甲、乙两人都对D．甲、乙两人都不对
【答案】C
【分析】甲：由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理得，等量代换得，可证；
乙：连接．由垂径定理可证，由圆周角定理可证，等量代换得，可证．
【详解】甲：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．故甲的说法正确；
乙：连接．
∵，
∴，
∴．
∵是劣弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．故乙的说法正确．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答本题的关键．
8．如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作的垂线与的延长线交于点，根据圆内接四边形的性质，得出，再根据圆的基本概念，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据图形的面积，得出，进而得出，再根据比的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作的垂线与的延长线交于点，

∵点A，B，C，D是上的四点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和和四边形的面积之比为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆的基本概念、等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、比的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理，并正确作出辅助线．
二、填空题
9．如图，是的外接圆，为的直径，，点为半径上一点，延长与交于点，过点作，交延长线于点若为中点，则 ．

【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．已知：如图，是的直径，垂直弦于点，则在不添加辅助线的情况下，图中与相等的角是 （写出一个即可）．

【答案】或或
【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．
【详解】∵，是直径，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．
11．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．

【答案】
【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，
故前五个正方形内形成的曲线的长度是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长．
12．如图，为直径的与相切于点，连接，，分别交于点，．连接，，若，，则的度数为 度．
【答案】54
【分析】由平行线的性质，圆周角定理得到，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到，即可求出的度数，由余角的性质即可求出的度数．
【详解】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
切于，
半径，
，
是圆的直径，
，
，
．
故答案为：54．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，余角的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点得到，，求出的度数．
13．如图，在菱形中，是上的点，，连接，与过三点的相切于点，已知，则 °．

【答案】15
【分析】如图，连接，，证明为直径，即，，三点共线，四边形为平行四边形，；，结合为的切线，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，

∵，
∴为直径，即，，三点共线，
∵菱形，，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，平行四边形的判定与性质，圆的基本性质，切线的性质，熟练的掌握图形的基本性质是解本题的关键．
14．如图，与正方形相切点，点在上，点是的中点，连结、、，设，，当时，则与的关系为 ．

【答案】
【分析】根据条件证明是的垂直平分线，，从而可得，可得，由可得，则有，，，即可求出．
【详解】解：当时，连接，如图，
∵与正方形相切点，点是的中点，
设与交点为M，连接，

∵四边形是正方形，，
∴，，
∴
∴， 即M是的中点，
∵，，
∴，
即是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴与的关系为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆与几何问题，涉及到圆的切线、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质、正方形的性质等，灵活运用所学知识是解题关键．
三、解答题
15．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径．
(2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______．
【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为
(2)1
【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键．
（1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径；
（2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：
，
又的周长的一半，
的内切圆的半径．
（2）解：如图，连接和，
在中，，
，
设，p为的周长的一半，
则，，
的内切圆的半径．
；
又为的内切圆，
，，
，
四边形是正方形，
．
故答案为：1．
16．如图，与相切于点两点均在上，，点在弦上，．
(1)若，求的度数；（用含的式子表示）
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，求出，再证明，进而可得答案；
（2）作，可得，求出，证明即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
，
为的直径．
与相切于点，
，
，
，
∴，
，
，，
，即，
，
；
（2）证明：过点作，
则，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
17．如图，是的外接圆，，是的切线．

(1)求证：．
(2)在备用图中，仅用无刻度的直尺在上作出点，连接，使得．（请保留作图痕迹，并标注相应的字母，不写作法）
(3)在（2）的条件下，记与的交点为．若是边长为6的等边三角形，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题是圆的综合题，主要考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定，锐角三角函数的定义等知识，是常考题，灵活运用上述知识是解答的关键．
（1）连接、、，延长交与点，证，即可；
（2）由（1）得，过点作直径，交于点，则，证四边形是矩形，即可知；
（3）连接，由等边三角形的性质与圆内接四边形的性质求得，进而得出，再利用锐角函数的定义即可解答；
【详解】（1）证明：如图，连接、、，延长交与点，

是的外接圆，，
，
，
是的切线，
，
；
（2）解：点如图所示：

由（1）得，，
，
是的直径，
，
四边形是矩形，
，
；
（3）解：如图，连接，

是边长为6的等边三角形，
，，
，
，
由（2）得四边形是矩形，
，，
．
故答案为：．
18．如图，是的内接三角形，点、分别在直径、弦上，点在线段的延长线上，连接．

(1)请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
①；②；③是的切线；
你选择的补充条件是______，结论是______；（填写序号）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的半径．
【答案】(1)补充条件是①②，结论是③，理由见解析；
(2)半径长是．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，，由对顶角的性质得到，由直角三角形的性质即可推出，即可证明问题；
（2）作于，由，得到，由三角形内角和定理得到，因此，得到，即可求出，由勾股定理求出，由，求出的长，得到的长，由，即可求出，得到圆的半径长．
【详解】（1）解：补充条件是，结论是，理由如下：

连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）作于，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长是．
【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，切线的判定，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出；由锐角的正切求出长，由和．
19．如图，为的直径，点C在上．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在上作点D，使得线段，且线段与相交；
(2)在（1）的条件下，与相交于点P，若，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．
（1）根据垂径定理，作的垂线，与圆的交点即为所求．
（2）根据垂径定理，圆周角定理，弦，弧的关系计算即可．
【详解】（1）作的垂直平分线，与圆的交点为点D，
，
则点D即为所求．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴
∴．
20．如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；
（1）由圆的基本性质得，从而可得，即可求证；
（2）①由圆的性质得，从而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的长，由即可求解；②由旋转的性质得，，从而可求，由三角形内角和定理得，等量代换得 即可求证；
掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：①是直径，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
②折线由折线旋转得到，
，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
点C，D，F三点共线．在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径．
思路分析：如图1．连接，则存，，设．
于是有，
∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径．
若已知的三边长，如何求的面积呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若
则秦九韶公式为．
例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积．
解：，
……