2024年中考数学【高分·突破】考点22动态几何与函数的综合问题(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点22动态几何与函数的综合问题(原卷版+解析)，共43页。
一、解答题
1．综合与探究
抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．
(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．
(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线经过和两点．设抛物线的顶点为点，与轴交于点，以为边作平行四边形，使得点在轴上，点在抛物线上．
(1)求、的值；
(2)当时，求抛物线的函数解析式；
(3)设四边形面积为，若点在点和点之间的抛物线上运动，求的最大值．
3．如图，抛物线与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线的顶点，直线与抛物线交于，两点，求证：的外心恒在直线上；
(3)在(2)的条件下，设的外心为．通过对“”取特值探究，当直线运动时，发现点恒在一条确定的曲线上运动，请直接写出曲线的解析式为______．
4．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．

(1)证明：≌；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．
5．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m．过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，以为边，在的右侧作正方形．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在直线上方的抛物线上运动时，直接写出的长．（用含m的代数式表示）
(3)抛物线的顶点落在正方形的边上（包括顶点）时，求m的值．
(4)当此抛物线在正方形内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
6．如图1，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在，点B的左侧），已知点B的横坐标是1，抛物线L的顶点为D，点P从原点开始沿x轴正半轴运动，将抛物线L绕点P旋转后得到抛物线，顶点E的横坐标为h．

(1)求a的值及顶点D的坐标；
(2)当点P与点B重合时，求抛物线的解析式：
(3)如图2，明明设计小游戏：有一等边三角形（与x轴平行），边长为5，顶点M的坐标为，当抛物线与有公共点时（含边界），会变色，此时抛物线被称为“美好曲线”，请直接写出抛物线为“美好曲线”时，点E横坐标h的取值范围．
7．如图，开口向下的抛物线与x轴负半轴交于A，与y轴正半轴交于B，顶点为C，直线与x轴交于D，E为的中点，点Р在第二象限抛物线上运动，轴与交于M，于N，
(1)能否确定抛物线的顶点坐标？请说明理由；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
8．如图，抛物线与x轴交于点和点，点在第一象限的抛物线上运动，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若，点在直线上运动，连接，将沿折叠，得到，当与坐标轴平行时，请直接写出点的坐标．
9．如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
10．如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接，将绕P顺时针旋转一定角度得到．
(1)求二次函数与直线的函数表达式．
(2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接交于点E，连接，，当与的面积之比最大时，求点P的坐标．
(3)如图2，若，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接，，请直接写出周长的最小值．
11．抛物线与轴交于点和点，经过点，抛物线的对称轴与轴交于点，一次函数经过点和点，与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在直线上运动点不与点重合，当点关于轴的对称点恰好落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)长为的线段点位于点的上方在轴上运动，连接，，若和相似，请直接写出点坐标．
12．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将沿折叠，使点落在抛物线上的点处，求的面积；
(3)有一平行于轴的动直线，从轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与重合为止．直线扫过的面积为（如图3的阴影部分），运动时间为秒，试求与的函数关系式，并写出相应的取值范围．
压轴热点考点22 动态几何与函数的综合问题
压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、解答题
1．综合与探究
抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．
(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．
(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．点的坐标为
(2)点的坐标为或或或或
(3)存在，
【分析】（1）把，代入解析式求解即可得到解析式，再令即可得到答案；
（2）当时，求出D点坐标，求出直线解析式，过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，设，表示出，根据面积最大得到点坐标，再结合是等腰三角形分类讨论即可得到答案；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，证明，得到K点坐标，结合列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：把，分别代入，得解得
∴抛物线的函数表达式为，
当时，．解得，，
∴点的坐标为；
（2）解：点的坐标为或或或或，
当时，，
∴．
把代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把，分别代入，得解得，
∴直线的函数表达式为，
如解图，过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，
设，则，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，的面积最大．
当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，
∴，，
①当时，，
∴，解得，
②当时，，
∴，解得，
③当时，，
∴，解得，
综上所述，点的坐标为或或或或；
（3）解：存在，如解图，过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，
在中，，
∴，
∴，∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，把，分别代入，得解得，
∴直线的函数表达式为，
设点的坐标为，
∵点在抛物线上，∴，
解得，（舍去），
∴点的横坐标为，
∴；
【点睛】本题考查二次函数综合运用中的特殊三角形，特殊角及最大面积题，解题的关键是设出点的坐标根据特殊关系列式求解．
2．已知抛物线经过和两点．设抛物线的顶点为点，与轴交于点，以为边作平行四边形，使得点在轴上，点在抛物线上．
(1)求、的值；
(2)当时，求抛物线的函数解析式；
(3)设四边形面积为，若点在点和点之间的抛物线上运动，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据解析式求得顶点的坐标为，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，证明，，得出，，，则，，代入得，求得，即可求解；
（3）求得直线的表达式为，过点总轴交于点，设的坐标为，则，得出，根据，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：依题意得，
，
解得：；
（2）由（1）可得即
∴顶点的坐标为，
∵当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形平行四边形，
∴，
∵点是抛物线的最低点，点在抛物线上，
∴点在点的上方，
由平移可得在点的上方，
∵在轴上，点的坐标为，
∴，
如图，过点分别作轴于点，轴于点，

∴，
∴，
在平行四边形中，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ，，
将点代入得
，
解得：（舍去），
∴抛物线解析式为；
（3）解：设直线的表达式为，将点，代入
，
解得：，
∴直线的表达式为，
如图所示，过点作轴交于点，

设的坐标为，则，
∴
，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，抛物线与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线的顶点，直线与抛物线交于，两点，求证：的外心恒在直线上；
(3)在(2)的条件下，设的外心为．通过对“”取特值探究，当直线运动时，发现点恒在一条确定的曲线上运动，请直接写出曲线的解析式为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得出待定系数法求二次函数解析式即可求解．
（2）联立得出，设方程的两个根为，如图所示，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线，交于点，根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，，结合一元二次方程根与系数的关系得出，即可得出，即，进而得出，则是直角三角形，即可得证；
（3）根据（2）的结论，求得的中点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
将代入，
即，
解得：，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：联立，消去得，
设方程的两个根为，
如图所示，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线，交于点，

则的横坐标为，的横坐标为
∴
∴，，
，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴的外心恒在直线上；
（3）∵
∴，
∵，
当时，
∴直线过定点
则曲线过定点，
由（2）可得
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，正切的定义，证明是直角三角形是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．

(1)证明：≌；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．
【答案】(1)见解析
(2)t的值为2
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及同角的余角相等可证明，，再加上，利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）与有一组对顶角相等，分和，分别把这两种相似作为已知条件，求出t的值，其中一种不合题意，需舍去；求解即可；
（3）将A，B，D的坐标分别代入二次函数解析式，先求出抛物线解析式，再求出直线的解析式，过点B作直线的平行线，构造与同底等高的三角形，平行线与抛物线的交点为P，求出该直线与抛物线的交点即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
，
由题意知，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
当时，
，
，
与为等腰直角三角形，
由（1）知，，
，
的值为2；
当时，
，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知，，∴，
故不合题意，舍去，
综上所述，t的值为2；
（3）解：由知，，，
将，，分别代入，
得，，
解得：，，，
，
将点代入，
得，，
，
如右图，当点P在直线下方的抛物线上时，
过点B作的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点M，连接，

此时与同底等高，面积相等，
将点代入，
得，，
，
联立与，
得，，
解得，，
与点重合，舍去；
当点P在上方的抛物线上时，
直线是直线向下平移1个单位得到的，
将直线向上平移1个单位得到直线，
可得到与同底等高，面积相等，
联立与，
得，
解得，，，
点P坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图象的平移及平行线的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，面积法、解一元二次方程等知识，解题的关键是要能够熟练运用相似的判定与性质，借助图象平移国，利用等面积法解决问题．
5．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m．过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，以为边，在的右侧作正方形．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在直线上方的抛物线上运动时，直接写出的长．（用含m的代数式表示）
(3)抛物线的顶点落在正方形的边上（包括顶点）时，求m的值．
(4)当此抛物线在正方形内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)，，
【分析】（1）根据已知点坐标用待定系数法求解；
（2）确定直线的解析式，设，，求出；
（3）由抛物线解析式化顶点式求得顶点坐标，分两种情况，当点P在y轴左侧时，求得，当点P在y轴右侧时，求得；
（4）由题意知，化为两个一元二次方程求解，得或；，解得，，，结合图形舍根，得或
【详解】（1）由题意得 解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）由，可知：直线BC：
由题意知：，
；

（3）抛物线的解析式为
∴
∴顶点的坐标为
如图，当点P在y轴左侧时，

时， 解得
当点P在y轴右侧时，

时，
综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，或
（4）由题意知
∴，解得
，解得，
不合题意，舍去；
综上，或
【点睛】本题主要考查待定系数法、配方法化二次函数解析式为顶点式、构建一元二次方程解决问题；由动点的运动情况确定动态图形的形状和位置是解题的关键．
6．如图1，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在，点B的左侧），已知点B的横坐标是1，抛物线L的顶点为D，点P从原点开始沿x轴正半轴运动，将抛物线L绕点P旋转后得到抛物线，顶点E的横坐标为h．

(1)求a的值及顶点D的坐标；
(2)当点P与点B重合时，求抛物线的解析式：
(3)如图2，明明设计小游戏：有一等边三角形（与x轴平行），边长为5，顶点M的坐标为，当抛物线与有公共点时（含边界），会变色，此时抛物线被称为“美好曲线”，请直接写出抛物线为“美好曲线”时，点E横坐标h的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】(1)将代入中，求出a值后即可得解；
(2)连接，作轴于点，作轴于点，证出，抛物线的顶点的坐标，然后根旋转的性质即可得解；
(3)设，利用D，E关于点P成中心对称，利用中点坐标公式 得出， ，用含m的式子表示出的解析式，根据旋转的性质和新定义讨论出m的范围，进而可得出h的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，点坐标为，
将代入中，得
抛物线的解析式为
顶点的坐标为；
（2）如图，连接，作轴于点，作轴于点，
根据题意，点D，E关于点成中心对称，
过点，且，
在和中，
，
，，
抛物线的顶点的坐标为，
抛物线由绕点旋转后得到，
抛物线的函数表达式为；

（3）设
∵D，E关于点P成中心对称，
∴根据中心对称的性质，得出P为的中点
∴
同理可得
设的解析式为：
∴
∴
∴
∴
∴
当点N在对称轴左侧且位于上时为临界点，
∵等边三角形的边长为5，
∴
∴将N点代入得
解得：
当时，对称轴为：直线，N点在对称轴右侧，不符合题意，舍去
当时，对称轴为：直线，符合题意
∴m的值为
∵E点的横坐标为
∴h取值为
∴当点横坐标的取值范围为时，抛物线为“美好曲线”

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，图形的旋转，新定义“美好曲线”的理解与应用，二次函数的性质，二次项系数确定函数的形状，形状相同．开口方向相同则二次项系数相等，若形状相同，开口方向相反，则二次项系数互为相反数，根据二次项系数和顶点坐标直接写出二次函数的解析式是关键．
7．如图，开口向下的抛物线与x轴负半轴交于A，与y轴正半轴交于B，顶点为C，直线与x轴交于D，E为的中点，点Р在第二象限抛物线上运动，轴与交于M，于N，
(1)能否确定抛物线的顶点坐标？请说明理由；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】(1)能确定抛物线的顶点坐标，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将原函数解析式配方成顶点式就可说明；
（2）过点C作轴于，利用正切的定义可求出，进而求出点D的坐标，利用待定系数法可求直线的解析式，可求出，进而求出，由点B的坐标可求m的值，然后求出A的坐标，最后利用正切定义求解即可；
（3）过M作轴与CD交于F，利用正切的定义可得出，设，，利用勾股定理求出，由正弦定义得出，利用待定系数法求直线解析式为，设，则，则可求，由M的纵坐标可求，进而求出，
，，最后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：能确定抛物线的顶点坐标，
理由：∵
，
∴顶点为；
（2）解：过点C作轴于，
由（1），，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线为，
则，
解得，，
∴直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由，得，
∴抛物线为，
由，得，或，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过M作轴与CD交于F，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
由（2）知，，，
设直线解析为，
∴，解得
∴直线为，
而抛物线为，
设，则，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为，
【点睛】本题考查了二次函数与线段周长问题，一次函数，二次函数的性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
8．如图，抛物线与x轴交于点和点，点在第一象限的抛物线上运动，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若，点在直线上运动，连接，将沿折叠，得到，当与坐标轴平行时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）把和点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点作，垂足为点，根据已知条件得出，过点作轴，交轴于点，可得，进而根据相似三角形的性质得出，进而得出点P的横坐标为，代入抛物线解析式即可求解；
（3）根据已知得出直线的解析式为；设，根据当轴时，当轴时，分别画出图形，分类讨论即可求解．
【详解】（1）把和点代入，
得，
解得
抛物线解析式为；
（2）过点作，垂足为点
，，
，
，
，
过点作轴，交轴于点，
，
，
，
，
，
点P的横坐标为，
把代入
得：
点；
（3）解：∵，，
∴，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
依题意设，
如图所示，将沿折叠，得到，
∴，，，
当轴时，
∴，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
∴
∴
解得：或
如图所示，当轴时，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线交轴于点，
∵折叠，
∴
∴
即,
解得：或
∴，，，
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法，面积问题，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)定值，定值为3．
【分析】（1）先证明，求出的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据两点间的距离公式，求出，设运动时间为，则，，，，过点Q作轴于点G，易证，得到，进而得到，然后根据，求得，利用二次函数的性质，即可得到答案；
（3）设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，联立直线和抛物线解析式，得到，根据二元一次方程根和系数的关系，得到，，再跟别将点E和点F代入直线和直线中，求得、，再进行代入求值，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即，
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即；
（2）解：、，
，
设运动时间为，
由题意可知，，，
，，
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，；
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得:，
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根和系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接，将绕P顺时针旋转一定角度得到．
(1)求二次函数与直线的函数表达式．
(2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接交于点E，连接，，当与的面积之比最大时，求点P的坐标．
(3)如图2，若，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接，，请直接写出周长的最小值．
【答案】(1)，；
(2)．
(3)Q的坐标为或，周长最小值为．
【分析】（1）首先根据点B的坐标求出直线的函数表达式，进而得到点C坐标，再将A、B、C三点坐标代入二次函数解析式，即可求得抛物线函数表达式；
（2）过A作轴交于点M，可以得到M点坐标，求出，过Q作轴交于点N，设，则，再根据直线平行得到三角形相似，两个三角形面积比转换为线段之比，用含有m的代数式表示，根据二次函数的图象和性质求得与的面积之比最大时m的值，得到点Q坐标，最后根据，得到P点坐标；
（3）①过Q作于点M，得到，进而得到，，，将Q点坐标设出来，得到一元二次方程，求解，即可得到Q点坐标；
②当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小．
【详解】（1）解：对，由于过点，∴．∴．
令，则．∴ ．
∵的图像过，，三点．
，解之得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图，过A作轴交于点M，则，∴
过Q作轴交于点N，设，则．
∴．
∵，∴．
∴．
∵，，
当时，∴有最大值．∴．
设，由得，．
∴，∴·
（3）①如图，过Q作于点M，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，∴，．
∴．
设，
∴，∴．
∴Q的坐标为或．
②周长最小值为．
理由如下：当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为．如图，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小，为．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的求法、相似三角形的判定和应用、二次函数的最值、全等三角形的判定和应用以及对称点的妙用，本题综合性较强，解题关键是熟练掌握三角形的有关知识，做到数形结合．
11．抛物线与轴交于点和点，经过点，抛物线的对称轴与轴交于点，一次函数经过点和点，与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在直线上运动点不与点重合，当点关于轴的对称点恰好落在抛物线上时，求点的坐标；
(3)长为的线段点位于点的上方在轴上运动，连接，，若和相似，请直接写出点坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为：
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点，则点关于轴的对称点为：，将代入抛物线表达式即可求出结果．
（3）设点，则点，则点，则，
两分两种情况讨论，当时，则，和当时，
则，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）令，
解得：或，
即点、的坐标分别为：、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点关于轴的对称点为：，
将代入抛物线表达式得：，
解得：舍去或，
故点的坐标为：；
（3）当时，，即点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，即，
设点，则点，则点，则，
由点的坐标得，，
当时，则，
即，
解得： ，
即点的坐标为：或；
当时，
则，即无解，
∴点的坐标为：或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
12．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将沿折叠，使点落在抛物线上的点处，求的面积；
(3)有一平行于轴的动直线，从轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与重合为止．直线扫过的面积为（如图3的阴影部分），运动时间为秒，试求与的函数关系式，并写出相应的取值范围．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）由得，，即可得，，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）根据沿折叠，使点落在抛物线上的点处，可得，，，即可得，，设，在中，有，解得，故的面积为6；
（3）过作于，根据，可得，即得，由得直线解析式为，由得直线解析式为，由，得直线解析式为，分两种情况：当时，设直线交于，交于，可得，，故，从而；当时，设直线交于，交于，则，，，即可得．
【详解】（1）解：由得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
把，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：沿折叠，使点落在抛物线上的点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
的面积为；
（3）解：过作于，如图：
由（2）得，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
由得直线解析式为，
由得直线解析式为，
由，得直线解析式为，
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
；
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
，
；
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，动点问题，解题的关键是注意分类讨论．