2024年中考数学二次函数压轴题专题03面积比例问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题03面积比例问题(学生版+解析)，共32页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．
大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．
本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．
策略一：运用比例计算类
综合与探究：如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）的面积等于的面积的时，求的值；
【分析】
（1）可重设解析式为交点式：，展开得：，常数项对应相等，-8a=6，解得：，故抛物线解析式为：．
（2）考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD的面积．
，
，
此问题变为面积定值问题，就不难了．
【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．
策略二：转化面积比
如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．
转化为底：
共高，面积之比化为底边之比：则．
更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．
策略三：进阶版转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．
“A”字型线段比：．
“8”字型线段比：．
以2019连云港中考填空压轴为例：
【2019连云港中考】
如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
【分析】
AP、AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．
构造“A”字型线段比：
过点P作PQ∥DB与AB的延宽线交于点Q，
由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．
BC=3，，，，
，，
故最大值为．
思路2：构造“8”字型线段比是否可行？
虽然问题是的比值，为便于构造“8”字，可转化为“+1”，即求的最大值，
过点P作PQ∥AB交BD延宽线于Q点，可得：，考虑到AB是定线段，故只要PQ最大即可．
但是本题P点在圆上运动，故很难分析出点P在何位置，PQ取到最大值，若P点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．
二、典例精析
例一、
已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标．
【分析】
（1）；顶点坐标为（-1,4）．
（2）根据可得CD：BD=1：2，
故D点是线段BC靠近点C的三等分点，又B（-3,0）、C（0,3），
∴D点坐标为（-1,2）．
例二、
如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
【分析】
（1）解析式：
（2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比．
，
思路1：转化底边之比为“A”字型线段比
在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE=3：2）
过点E作BC的平行线交x轴于G点，
EG与抛物线交点即为所求D点，
根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．
直线EG解析式为：y=-x+5，
与抛物线联立方程，得：，
解得：，．
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
思路2：转化底边之比为“8”字型线段比
过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC=3，故点G满足DG=2即可．这个问题设D点坐标即可求解．
也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB=3，∴DG=2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．
其实本题分析点的位置也能解：
思路3：设点D坐标为，
根据OF：DF=3：2，可得F点坐标为，
点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3，
，
解得，，
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．
三、中考真题演练
1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延宽，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条
3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
5．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
6．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
专题03 面积比例问题
一、知识导航
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．
大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．
本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．
策略一：运用比例计算类
综合与探究：如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）的面积等于的面积的时，求的值；
【分析】
（1）可重设解析式为交点式：，展开得：，常数项对应相等，-8a=6，解得：，故抛物线解析式为：．
（2）考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD的面积．
，
，
此问题变为面积定值问题，就不难了．
【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．
策略二：转化面积比
如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．
转化为底：
共高，面积之比化为底边之比：则．
更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．
策略三：进阶版转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．
“A”字型线段比：．
“8”字型线段比：．
以2019连云港中考填空压轴为例：
【2019连云港中考】
如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
【分析】
AP、AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．
构造“A”字型线段比：
过点P作PQ∥DB与AB的延宽线交于点Q，
由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．
BC=3，，，，
，，
故最大值为．
思路2：构造“8”字型线段比是否可行？
虽然问题是的比值，为便于构造“8”字，可转化为“+1”，即求的最大值，
过点P作PQ∥AB交BD延宽线于Q点，可得：，考虑到AB是定线段，故只要PQ最大即可．
但是本题P点在圆上运动，故很难分析出点P在何位置，PQ取到最大值，若P点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．
二、典例精析
例一、
已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标．
【分析】
（1）；顶点坐标为（-1,4）．
（2）根据可得CD：BD=1：2，
故D点是线段BC靠近点C的三等分点，又B（-3,0）、C（0,3），
∴D点坐标为（-1,2）．
例二、
如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
【分析】
（1）解析式：
（2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比．
，
思路1：转化底边之比为“A”字型线段比
在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE=3：2）
过点E作BC的平行线交x轴于G点，
EG与抛物线交点即为所求D点，
根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．
直线EG解析式为：y=-x+5，
与抛物线联立方程，得：，
解得：，．
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
思路2：转化底边之比为“8”字型线段比
过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC=3，故点G满足DG=2即可．这个问题设D点坐标即可求解．
也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB=3，∴DG=2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．
其实本题分析点的位置也能解：
思路3：设点D坐标为，
根据OF：DF=3：2，可得F点坐标为，
点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3，
，
解得，，
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．
三、中考真题演练
1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延宽，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；
（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
2．（2023·吉林宽春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；
（2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解；
（3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解；
（4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得：
∴抛物线解析式为；
∵，
∴顶点坐标为，
（2）解：由，
当时，，
解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴
∴
解得：，
∵点的坐标为，
∴；
（3）①如图所示，当，即时，

抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，
则纵坐标之差为
依题意，
解得：；
②当，即时，

∵，即，
依题意，，
解得：或（舍去），
综上所述，或；
（4）解：如图所示，

∵在轴的上方，
∴
∴
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
∵,
①当是的中点，如图所示

则，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，

∴，
解得：，
③如图所示，

设，则，
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
解得：，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
【详解】（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．
4．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延宽线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，过点作交的延宽线于点，则，则的坐标为，

∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
5．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达宽度，在观察图形可知，将其和宽度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，

抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．