2024年中考数学二次函数压轴题专题06四边形的面积问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题06四边形的面积问题(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．
思考：如何求一个普通的四边形的面积？
解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．
二、典例精析
例一、
已知抛物线经过点、，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【分析】
（1）；
（2）此处四边形ABPC并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．
若连接AP，则△ABP和△APC均为动三角形，非最佳选择；
若连接BC，可得定△ABC和动△BPC，只要△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大．
考虑A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故，
接下来求△BPC的面积，设P点坐标为，
连接BC，则直线BC的解析式为：y=-x-4
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-m-4），
故，
当m=-2时，PQ取到最大值2，此时△BPC面积最大，四边形ABPC面积最大．
此时P点坐标为（-2，-4）．
例二、
已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；
（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）抛物线：
点A坐标为（-2,0），点B坐标为（8,0）．
（2）显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC，点C坐标为（0,4），
故，
设P点坐标为，
根据B、C坐标可得BC的解析式为
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为，
故，
当m=4时，PQ取到最大值4，
，
故四边形PBOC的最大面积为32，此时P点坐标为（4,6）．
三、中考真题演练
1．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
4．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
5．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
6．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
7．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
专题06 四边形的面积问题
一、知识导航
除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．
思考：如何求一个普通的四边形的面积？
解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．
二、典例精析
例一、
已知抛物线经过点、，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【分析】
（1）；
（2）此处四边形ABPC并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．
若连接AP，则△ABP和△APC均为动三角形，非最佳选择；
若连接BC，可得定△ABC和动△BPC，只要△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大．
考虑A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故，
接下来求△BPC的面积，设P点坐标为，
连接BC，则直线BC的解析式为：y=-x-4
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-m-4），
故，
当m=-2时，PQ取到最大值2，此时△BPC面积最大，四边形ABPC面积最大．
此时P点坐标为（-2，-4）．
例二、
已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；
（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）抛物线：
点A坐标为（-2,0），点B坐标为（8,0）．
（2）显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC，点C坐标为（0,4），
故，
设P点坐标为，
根据B、C坐标可得BC的解析式为
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为，
故，
当m=4时，PQ取到最大值4，
，
故四边形PBOC的最大面积为32，此时P点坐标为（4,6）．
三、中考真题演练
1．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．

∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，

抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
4．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；

是将所学的知识灵活运用．
5．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)①2或3或；②，S的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
6．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
7．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（2）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，

当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．