2024年中考数学二次函数压轴题专题21阿氏圆模型(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题21阿氏圆模型(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
下给出证明
法一：首先了解两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．
证明：，，即
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
法二：建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：
解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．
除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：
（1）．
应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．
（2）△OBP∽△OPA，即，变形为．
应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．
（3）．
应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．
二、典例精析
1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2，点D为AB边上一点，当AD= 时，△ACD∽△ABC.
解：若△ACD∽△ABC则有即
∵AB=4,AC=2
∴
故答案为1.
2.如图，点P是半径为2的上一动点，点A、B为外的定点，连接PA、PB，点B与圆心O的距离为4.要使的值最小，如何确定点P，并说明理由.
【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.
【详解】连接OB，OP，在OB上截取OC=1，连接AC交于点 ,连接PC.
根据阿氏圆可得即

当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与重合时，PA+的值最小.
3.如图，平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,3），点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求的最小值.
【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值.
【详解】如图，在y轴上取一点M ，连接OE，EM，AM，则OE=2，OB=3，OM=
∴
又∵
∴
∴,即
∴
当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长.
在中，
∴当E为线段AM与的交点时，有最小值为.
4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点E的坐标为（2,0），将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α，连接、，求的最小值.
【思路分析】由旋转可知点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可.
【详解】解：∵抛物线的解析式为
∴
∵点E的坐标为（2,0）
∴点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧.
如图在y轴上取一点，连接，则，，
∴
又∵
∴
∴即
∴
当三点共线时，的值最小，最小值为BM的长.
∵
∴当为BM与圆弧的交点时，有最小值为 .
三、中考真题演练
1．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
，求的最小值．
3．（2019·山东·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
4．（2018·广西柳州·中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
阿氏圆模型
一、知识导航
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
下给出证明
法一：首先了解两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．
证明：，，即
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
法二：建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：
解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．
除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：
（1）．
应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．
（2）△OBP∽△OPA，即，变形为．
应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．
（3）．
应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．
二、典例精析
1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2，点D为AB边上一点，当AD= 时，△ACD∽△ABC.
解：若△ACD∽△ABC则有即
∵AB=4,AC=2
∴
故答案为1.
2.如图，点P是半径为2的上一动点，点A、B为外的定点，连接PA、PB，点B与圆心O的距离为4.要使的值最小，如何确定点P，并说明理由.
【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.
【详解】连接OB，OP，在OB上截取OC=1，连接AC交于点 ,连接PC.
根据阿氏圆可得即

当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与重合时，PA+的值最小.
3.如图，平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,3），点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求的最小值.
【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值.
【详解】如图，在y轴上取一点M ，连接OE，EM，AM，则OE=2，OB=3，OM=
∴
又∵
∴
∴,即
∴
当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长.
在中，
∴当E为线段AM与的交点时，有最小值为.
4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点E的坐标为（2,0），将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α，连接、，求的最小值.
【思路分析】由旋转可知点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可.
【详解】解：∵抛物线的解析式为
∴
∵点E的坐标为（2,0）
∴点的运动轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧.
如图在y轴上取一点，连接，则，，
∴
又∵
∴
∴即
∴
当三点共线时，的值最小，最小值为BM的长.
∵
∴当为BM与圆弧的交点时，有最小值为 .
三、中考真题演练
1．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可，
（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标，
（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，
∴，
，
解得，
抛物线解析式为：，
（2）当，即，
解得，
，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
设，过点作轴交直线于点，
则，
，
四边形的面积为16，
，
解得，
或，
（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，
是抛物线的对称轴，
，
，
，，
，
，
在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，最小值为，
．
则的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（16-17九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
【答案】(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；
(2)2
(3)
【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴-=4，
∴a=-．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y=-x+3；
（2）如图1，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得m=2或4，
经检验x=4是分式方程的增根，
∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′•OB=，
∴OE′2=OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴，
∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值．
3．（2019·山东·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.
4．（2018·广西柳州·中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.