数学：陕西省咸阳市普集街道部分学校2024届高三下学期高考模拟考试（三）试题（理）（解析版）

这是一份数学：陕西省咸阳市普集街道部分学校2024届高三下学期高考模拟考试（三）试题（理）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题
1. 已知复数，是方程的两个复数根，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为复数，是方程的两个复数根，且，
所以，解得，
所以，即，
所以，或，，
所以或，
所以.故选：B
2. 如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
，
则,，
由集合的运算可知，表示中去掉的部分，
所以.
故选：D
3. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A. “，”的否定是“，”
B. 若是奇函数，则
C. 若的定义域为，，都有，且满足，则是偶函数
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】C
【解析】对于A，“，”的否定是“，”，故A错误；
对于B，若是奇函数，且在处有定义，则，故B错误；
对于C，由偶函数的定义可知，若的定义域为，，都有，
且满足，则是偶函数，故C正确；
对于D，推不出，比如，则；
且推不出，比如，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：C
4. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四面体实物图如下图所示：
可知该几何体是边长为的正方体的内接三棱锥，
如上图所示，是边长为的等边三角形，其面积为；
是直角三角形，且直角边为，，其面积为；
是直角三角形，且直角边为，其面积为；
是直角三角形，且直角边为，，其面积为.
因此，此四面体的四个面中面积最大值为.
故选：B.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（ ）
A. 2023B. 2024C. 4046D. 4048
【答案】D
【解析】设首项为，公差为，由已知得，，
可得，解得，故，
若，故，
而数列的前2024项和为.
故选：D
6. 已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知是两个单位向量，且，
则，
则，则，
设分别是轴与轴正方向上的单位向量，
则，，，
设，则，
因为，
所以，
故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆心到原点的距离为，
．
故选：B．
7. 已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面的夹角为，若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，点为动点，、为定点，，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以、为焦点，为焦距，长轴为的椭圆，
将此椭圆绕旋转一周，得到一个椭球，即点的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一个椭圆，由，
即，得，
设点在平面上的射影为，则，
又，且，
所以当且仅当时最大，即取到最大值， 故选：B．
8. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】令且，则，故在上递减，
又，所以，A错误；
令且，则，
所以上，递减，上，递增，
而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误；
令且，则，故在上递增，
又，所以，B错误；
由于，所以，故,D正确，
故选：D．
9. 下列说法中，错误的有（ ）
A. 用决定系数来刻画回归效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好
B. 已知随机变量，若，则
C. 对于随机事件与，若，，则事件与独立
D. 已知采用分层抽样得到的商三年级100名男生和50名女生的身高情况为：男生样本平均数为173，女生样本平均数为164，则总体样本平均数为170
【答案】B
【解析】由决定系数的定义可知，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好，故A正确；由可得，，所以，
且随机变量，则，所以，故B错误；
因为，，则，
即，所以事件与独立，故C正确；
由题意可得，总体样本平均数为，故D正确；
故选：B
10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 直线是图像的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 若在区间上的最大值为，则
【答案】D
【解析】因为
，
则
，故A错误；
将代入计算可得，又，
，所以直线不是图像的一条对称轴，故B错误；
当时，，且在上不单调，故C错误；
当时，，且在区间上的最大值为，
则，解得，故D正确；
故选：D
11. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当取最大值时，直线的方程为
B. 若点，则的最小值为3
C. 无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值
D. 若点在抛物线准线上的射影为，则直线、的斜率之积为定值
【答案】AC
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，则，
设直线，
联立，得，
当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，
由，得，
直线的斜率为，又在第一象限，所以直线的斜率为，
此时取得最大值，直线的方程为，故A正确；
因为，则在准线上的射影为，
过点作垂直准线，垂足为，连接，则，
所以，
当且仅当，，三点共线时等号成立，故B错误；
对于C：由题意知，，且的斜率不为，
设方程为，，，，
联立直线与抛物线的方程，
整理得，
显然，则，，
所以，，
则
，
即无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值，故C正确；
对于D：由C选项可知，则，
又，所以（不为定值），故D错误.故选：AC.
12. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方的初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力；正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为．则下列结论不正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若，则红方获得战斗演习胜利
D. 若，则红方获得战斗演习胜利
【答案】C
【解析】对于A，若且，则，
即，所以，
由可得，即A正确；
对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，所以B正确；
对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为，
即，可得
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得C错误，D正确.故选：C.
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题
13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种．
【答案】450
【解析】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，
若每组人数分别为，共有种，
若每组人数分别为，共有种，
综上所有不同安排方法共有.
故答案为：450
14. 已知实数，满足，且，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】实数，满足，且，
若，则，所以，又，所以，
则，即，则，所以与已知矛盾，
故，要满足，则，
即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：
设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，
由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
【答案】
【解析】直线，则，
令，解得，所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，
最短弦长为.故答案为：.
16. 如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为__________．
【答案】
【解析】在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，
由分别为棱的中点，得，
而平面，
则平面，又平面，于是平面平面，
而平面平面，
因此平面，而，，，则，
球半径，，从而，
球被平面截得的截面圆半径，
所以球被平面截得的截面周长.
又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，
且圆的半径为，
所以球被正四面体表面截得的截面周长为.
故答案为：
三、解答题
17. 记为数列的前项和．已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
解：（1）当时，若，则，
两式相减得，
化简得，而，
故是以为首项，为公差的等差数列，
故，
（2）由上问得，
故，
，
两式相减得，
，
即，
所以，故
18. 第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会．为开好本次大运会，各个行业都力争做到报好．
（1）某体校田径队在备战期间对选手进行了考核，考核设有100米、400米和1500米三个项目，选手需要依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和（，，1，2），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
（2）某体育用品店统计了2023年1~5月份运动器材销量（单位：千套）与售价（单位：元）的情况，统计结果如下表所示：
求的相关系数，并判断销量与售价是否有很强的线性相关性．（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）．
参考公式：对于一组数据，
相关系数，参考数据：．
解：（1）对于选手甲：记“米成绩合格”、“米成绩合格”、“米成绩合格”分别为事件、、，则，，，
由题意可得的可能取值有，
所以，
，
，
，
可得的分布列为：
所以
.
（2）依题意可得，，
，
，
，
则，
与有很强的线性相关性.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
（1）证明：取的中点，连接、，因为是的中点，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：取线段的中点为，线段的中点为，
连接，
因为为直角梯形，，
所以，又，
所以，
因为，所以，
又，平面，
所以平面，
过点在平面内作直线，
则直线两两垂直，
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
过点作，交直线于点，
因为，平面，，
所以平面，
故平面，
又点P到底面的距离为，所以，
因为，，
所以为二面角的平面角，
由已知可得，所以，
所以，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若恰有两个极值点，求实数的取值范围．
解：（1）易知的定义域为，
而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意得，
，
若恰有两个极值点，则在有两个变号零点，
易知是的零点，
令，化简得，故与有一个交点即可，
而定义域为，
而，当时，恒成立，
故在上单调递增，
而，
当时，，故.
故实数的取值范围为.
21. 在平面直角坐标系中，圆，，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若动直线与曲线相交于、两点，设，，且，，，记直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
解：（1）圆的圆心为，半径，
如图所示，

连接，根据题意，，
则，
点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
设双曲线方程为，其中，，
，，则，
故所求的方程为．
（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，
由，消去整理得，
在的条件下，，，
由，可得，
即，
即，
则，
即，
即，
即，解得或，
当直线的方程为过点，不符合题意，舍去；
所以直线的方程为，则，
由，，且，，所以，故，
所以，则，则，
即点到直线的距离的取值范围为.
请考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）与交于两点，是上不同于的一点，若的面积为，求点的坐标.
解：（1）因，所以，
所以的普通方程为.
直线的极坐标方程为，即，
由，则化为直角坐标方程为.
（2）圆心到直线的距离为，则，
设且，
所以点到直线的距离，
由的面积为知，，
所以，则，
所以或，解得或，
故点的坐标为或.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
（1）解：当时，，
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时.
综上所述，当时，不等式的解集为.
（2）解：，使得不等式成立，
所以，使得成立，
因为，
所以，
即，使得成立，
因为在上单调递减，
则当时，函数取得最小值，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，.
故当时，函数取得最大值.
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.月份
1
2
3
4
5
器材售价（元）
100
90
80
70
60
销量（千套）
5
7.5
8
9
10.5