数学：山东省春季高考2024年二模考试试题（解析版）

这是一份数学：山东省春季高考2024年二模考试试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由集合，根据交集的定义可知.
故选：A．
2. 若成等比数列，则实数的值是（ ）
A. 5B. 或5C. 4D. 或4
【答案】D
【解析】因为成等比数列，可得，解得.
故选：D．
3. 已知 且，则角的终边所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义
可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，
故选B.
4. 已知向量，则等于（ ）．
A B. 6C. D. 18
【答案】C
【解析】因为向量，所以，且，
则，
故选:C．
5. 已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 圆锥
【答案】D
【解析】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥.
故选：D．
7. 已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点，
所以，D正确，其他选项不对.
故选：D
8. 以点（-2,4）为圆心的圆，若有一条直径的两端分别在两坐标轴上，则该圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意设直径两端点坐标分别为，因为点（-2,4）为圆心，由中点坐标公式可得，所以，则半径，所以圆的方程为.
故选B.
9. 已知命题：若是自然数，则是整数，则是（ ）．
A. 若不是自然数，则不是整数B. 若是自然数，则不是整数
C. 若是整数，则是自然数D. 若不是整数，则不是自然数
【答案】B
【解析】是“若是自然数，则不是整数”.故选：B.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A. 函数的最大值是
B. 函数在上单调递增
C. 该函数的最小正周期是
D. 该函数向左平移个单位后图象关于原点对称
【答案】B
【解析】由函数，
可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误；
当，可得，根据正弦函数的性质，
可得函数在上单调递增，所以B正确；
将函数图象向左平移得到函数，
此时函数的图象不关于原点对称，
所以D错误.
故选：B．
11. 已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（ ）．
A 2或4B. 4或6C. 6或8D. 2或8
【答案】D
【解析】如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为，
因为点在抛物线上，所以由得横坐标为，
又因为到准线的距离为5，即，解得或．故选：D.
12. 如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.
故选：A．
13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．
14. 如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】D
【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误；
当P与重合时，此时、面，故B错误；
当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误；
由正方体的特征可知四边形为平行四边形，
而平面，平面，、平面，，
故与始终异面，即D正确.
故选：D
15. 三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】五位同学排成一列的排法有种，其中两位女同学相邻的排法有种，
所以两位女同学相邻的概率是．
故选：B
16. 已知，若集合，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，
则或，
所以，
由推不出.
故选:A．
17. 甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（ ）
A. ，甲比乙成绩稳定B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定D. ，乙比甲成绩稳定
【答案】B
【解析】；
；
，
所以，乙比甲成绩稳定.故选：B.
18. 下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图知，直线为实线，可行域位于直线下方，所以，
直线为虚线，且点不在区域内，代入，可得.
所以不等式组可表示阴影部分.
故选：B
19. 如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.
故选：B.
20. 某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设四个班分别是、、、，对应的数学老师分别是、、、．
让老师先选，可从、、班中选一个，有种选法，
不妨假设老师选的是，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有种选法，剩下的两位老师都只有种选法．
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法．
故选：B.
卷二（非选择题）
二、填空题
21. 计算：______．
【答案】1
【解析】根据对数的性质，底的对数是1，1的对数是0，因此．
故答案为：1
22. 已知圆柱底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______．
【答案】2
【解析】由题意可知圆柱的底面周长，
所以根据圆柱的侧面面积公式可知，该圆柱的母线长，
故答案为：
23. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______．
【答案】10
【解析】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，
所以，由组合数的性质可得．
故答案为：10.
24. 已知，且，那么______．
【答案】
【解析】因为，所以，
.故答案为：.
25. 如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．
【答案】.
【解析】因为是等边三角形，点是的中点，则，
又，所以，
因为点在双曲线上，所以，
所以．
故答案为：
三、解答题
26. 已知是二次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若，求函数的最小值和最大值．
（1）解：设二次函数为，
因为，可得，解得，
所以函数的解析式．
（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，
即函数在单调递增，在单调递减，
所以，．
27. 已知数列．求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项和的最大值．
解：（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
28. 如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：
（1）的距离；
（2）该救援船到达点所需要的时间．
解：（1）由题意可知，，，
则，
而，
在中，，由正弦定理可得，
即，即，解得（海里）．
（2）在中，，
由余弦定理可得
，
所以，则时间为（小时），
所以该救援船到达点需要的时间为1小时.
29. 已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
（1）证明：由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）解：连接，由平面平面，得，
则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
在中，，则，
由点是的中点，得，在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
30. 已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值．
解：（1）设椭圆的标准方程为．
由题意可知，解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，如图，
联立方程，消去，得，
则，
从而，
因为，即，
所以，
解得或，
经验证知，所以的值为或．