数学：东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（二）试题（解析版）

这是一份数学：东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（二）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
又，.
故选：B
2. 已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】设，则，
因为，
所以，即，
所以，
所以在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.
故选：A.
3. 已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角的终边与单位圆的交点，可知，
所以.
故选：B.
4. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（ ）参考值：
A. x与y不独立
B. x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【解析】零假设为：x与y独立，
由，依据的独立性检验，可得成立，
故可以认为x与y独立.
故选：C.
5. 函数在处切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
6. 等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
所以，因为，
即，解得，
所以，
所以.
故选：B
7. 已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，
所以.
故选：C
8. 已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则，，平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，所以，
即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：A
二、多选题
9. 四名同学各投掷骰子次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是（ ）
A. 平均数为，中位数为B. 众数为，中位数为
C. 平均数为，方差为D. 平均数为，方差为
【答案】BD
【解析】对于A，若平均数为，则点数和为，又中位数为，
则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，
故不可能出现平均数为且中位数为的数据，故A错误；
对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；
对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，所以C错误；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数，
方差为，
所以可以出现点，所以D正确，
故选：BD
10. 抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（ ）
A. 抛物线的准线方程是
B. 过抛物线的焦点的最短弦长为
C. 若弦的中点为，则直线的方程为
D. 四边形面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】抛物线焦点，准线方程为，
依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误；
过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确；
设，，则，，
所以，即，
又弦的中点为，所以，
所以，即，
又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确；
依题意直线的斜率存在且不为，设直线为，
由，消去整理得，显然，
所以，所以，
同理可得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD.
11. 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是（ ）
A. 点E到平面ABC的距离为
B. 直线DE与平面ABC所成角的正切值为2
C. 该截角四面体的表面积为
D. 该截角四面体存在内切球
【答案】AC
【解析】如图，将该截角四面体补成正四面体，取底面的中心，连接，
可知平面，则，可得，
对于选项A：由题意可知：平面∥平面，
则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离，故A正确；
对于选项B：由题意可知：∥，
则直线DE与平面ABC所成角即为与平面所成角，
可得，
所以直线DE与平面ABC所成角的正切值为，故B错误；
对于选项C：由题意可知：，
则，所以该截角四面体的表面积为，故C正确；对于选项D：
若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体的中心O，
可知，
因为，即，解得，
由选项A可知：点S到平面ABC的距离，
则点O到平面ABC的距离为，
所以该截角四面体不存在内切球，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
12. 已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】，即，，，
，，.
故答案为：.
13. 以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的右焦点，且与轴交于，两点．若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】为双曲线上一点，不妨设在第一象限，，
与轴相切于双曲线的焦点，的横坐标为，
将代入得，，又，解得，
，的半径为，点到轴的距离为,
为等腰直角三角形，所以，
所以，即，
所以，解得，
，，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 已知函数满足：，则______．
【答案】
【解析】，
则，
则
.故答案为：.
四、解答题
15. 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．

（1）证明：平面；
（2）求点P到直线MN的距离．
（1）证明：由题意知，平面，，而平面，
所以，在平面内过点A作y轴，使得 y轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，又不在平面内
即平面；
（2）解：如图，连接，由（1）得，
则，，
所以点到直线的距离为.

16. 近日，市流感频发，主要以型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按（且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性，其中每个人记作化验次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验次．
（1）若，求和均值；
（2）若按全市患病率估计，试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.
（参考数据：，，）
解：（1），如果混管血样呈阴性，则；
如果混管血样呈阳性，则，
的所有可能取值为，，
，，
的分布列为
；
（2）如果混管血样呈阴性，则；
如果混管血样呈阳性，则，
的所有可能取值为，，
，，
的分布列为
，
当时，，
当时，，
，
当时化验总次数更少.
17. 某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边落在扇形半径上，该扇形半径米，圆心角．矩形的一个顶点在扇形弧上运动，记.

（1）当时，求的面积；
（2）求当角取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．
解：（1）在中，，，
，，
在中，，即，解得，
，
，
；
（2）在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，则

，
由，得，
所以当，即时，，
因此，当时，矩形的面积，最大面积为.
18. 如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．
（1）求点H的轨迹的方程；
（2）设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）连接，由题意可得，又，
故，即点到定点、的距离之和为，
即点的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆，
即有，，则，即；
（2）由，消去y并整理，得，
因为直线l：与椭圆有且只有一个公共点P，
所以，即，
所以，
此时，，
所以，由，得，
假设存在定点，使得以PQ为直径圆恒过点，则，
又，，
所以，
整理，得，
所以，解得，
故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点.
19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
（3）若数列满足，对于，证明：．
（1）解：根据题意，，
则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）证明：设，，
则，
所以在上单调递增，则，
即，即当时，.
（3）证明：由（2）可知当时，，
令，则，
所以，
所以，
令，
则，
所以
，
所以，
所以.0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635