数学：四川省内江市2024届高三第三次模拟考试试题（理）（解析版）

这是一份数学：四川省内江市2024届高三第三次模拟考试试题（理）（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为，因此，解得，
所以实数的取值范围为.故选：A
2. 已知是虚数单位，，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】依题意，，，
所以.故选：C.
3. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分；
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，

所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12.
故选：B
4. 在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】C
【解析】因为为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，可得，所以.
故选：C
5. 如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A. 3B. 7C. 15D. 31
【答案】C
【解析】循环前，
第一次循环，，，则，
第二次循环，，，则，
第三次循环，，，则，
第四次循环，，，输出.
故选：C
6. 已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点，
所以由平行四边形法则可得：，
所以，
所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时，
取得最大值为.
故选：C.
7. 文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知甲乙随机选择路口有种方法，
而甲乙都不选A路口的可能有种，即事件M的样本点有7个，
而在甲乙至少一人选择A路口的前提下，两人选择的路口不同有种情况，
所以.故选：B.
8. 设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于，
当时，，
又，，
而在原点左侧第一个使得的x的值为，即，
由于存在，且，使得，
故需满足，
即的取值范围是，
故选：B
9. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A. -1B. 0C. 1012D. 2024
【答案】B
【解析】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知关于轴对称，即，
又可知，
所以，
显然，
所以.
故选：B
10. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，故选：D.
11. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取中点B，连接AB，则，且，
则点到渐近线的距离为，
，
，结合可得，
则，解得：（舍去）或，则.
故选：D.
12. 对于曲线，给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线所围成的区域的面积大于3且小于4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】对于①，中令得，，同理令得，，
故经过点，
又当或时，方程无解，
综上，恰好经过4个整点，①正确；
对于②，设曲线上一点坐标为，故，
则此点到原点的距离为,
其中，当且仅当时，等号成立，
即，故，②正确；
对于③，根据②中所求，曲线上一点到原点的最小距离为，
又由对称性可知，关于轴对称，关于原点对称，
画出的图形如下：
由于围成的区域为以原点为圆心，1为半径的圆，
此时区域面积为，
而外围的正方形的面积为，
故曲线所围成的区域的面积大于3且小于4，③正确.故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13. 设函数，则曲线在处的切线方程为_______.
【答案】
【解析】，又，，故曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
14. 若函数是奇函数，则______.
【答案】
【解析】函数是奇函数，，
当时，，，
而当时，，则，
当时，，，
而当时，，则，
所以，.
故答案为：
15. 已知实数x，y满足且（为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则实数的值为______.
【答案】
【解析】由于实数x，y满足，故作出不等式组表示的平面区域，如图示（含边界），
要使（为常数）取得最大值的最优解有无数多个，
即其中，取到可行域中的最小值时，目标式与可行域的边界有重合，
需使得直线与直线或重合，
此时直线在y轴上的截距最小，z取最大值，即有，故答案为：
16. 平面内条直线可以将平面分成若干块区域，记分成的区域数的最大值为，则数列的前项和为______.
【答案】
【解析】一条直线将平面分成2个区域，即，
两条直线最多将平面分为4个区域，即，
三条直线最多将平面分为7个区域，即，
四条直线最多将平面分为11个区域，即，
由此可得规律如下：，
将各式相加得：，
即，也适合，
则，
故，
故的前项和为，
故答案为：
三、解答题
17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
解：（1）由表格可知，
，，
所以，
则；
（2）根据数据补全表格如下：
所以，
故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
18. 在斜中，角A、B、C所对的边分别为
．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
解：（1）由于，故，
则，代入，得，
解得或，由于为斜三角形，故舍去；
则；
（2）由，得，
则，
即，由于，故C为锐角，
则，故，
又，故，
则，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若PD与平面所成的角为30°，求平面与平面所成角的正弦值.
（1）证明：取的中点M，连接，
，
又平面平面PBC，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
又底面是直角梯形，且，则，
而平面，
故平面，平面,
故平面平面；
（2）解：取中点N，连接，则，
则四边形为平行四边形，则，
故平面，则为PD与平面所成的角，即，
由于平面，平面，故，
，，故，
在中，，
则，
在中，为等边三角形，
取中点O，的中点为Q，连接，
则，
以点O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，取，则，
平面的一个法向量为，则，
故平面与平面所成角的正弦值为.
20. 已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为抛物线E的准线方程为：，所以；
（2）设，
联立抛物线有，
下面先求抛物线过点的切线方程，
设该切线方程为，
与抛物线联立有，
则，又，
即，则，
则，
所以抛物线E在处切线方程为，
B处的切线方程为，所以，
则，
直线分别与抛物线方程联立有，
设，则，
由弦长公式知，
同理有，
又，所以，
则,
即，
所以存实数，使得恒成立.
21. 已知函数．
（1）若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
（2）证明：．
（1）解：的定义域为，所以，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为的图象不在轴的下方，所以恒成立，
所以，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
又因为，，
，，
所以，故的取值集合为.
（2）证明：由（1）可知，当时，，
即，
即，
所以，（当时取等），
令，所以，则，
所以，故，
，……，，
由累加法可得：，
即，
令，恒成立，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2）若曲线和交于点A、B，点在曲线上，且的面积为，求点的直角坐标．
解：（1）由于曲线的参数方程为（α为参数），
故消去α可得曲线的普通方程为，
即曲线表示以为圆心，1为半径的圆；
曲线的极坐标方程为，
将代入得的普通方程为，
即曲线表示过点，斜率为的直线；
（2）由（1）得圆心到直线的距离为，
故，设，
则点P到直线的距离为，
的面积为，故，
则，解得或（舍），
故或，即或，则点的直角坐标为或.
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为，若正数a、b、c满足，求证：．
（1）解：由题意即，
即，即得，解得，
故不等式的解集为；
（2）证明：，其图象如图：
结合图象可得，
又正数a、b、c满足，则，
故，当且仅当时等号成立，
故，即.
场次编号
1
2
3
4
5
观众人数
0.7
0.8
1
1.2
1.3
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
40
50
90
女性观众
60
50
110
总计
100
100
200