2024年云南省丽江市中考数学二模试卷

这是一份2024年云南省丽江市中考数学二模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走5步记作+5步，那么向南走7步记作（ ）
A．+7步B．﹣7步C．+12步D．﹣2步
2．（2分）2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至12月26日，累计发送旅客超180000人次，数据“180000”用科学记数法表示应为（ ）
A．180×104B．18×104C．1.8×105D．0.18×106
3．（2分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．﹣1
5．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a×3a＝6aB．3a2b﹣3ab2＝0
C．6a÷2a＝3D．（﹣2a）3＝﹣6a3
6．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直线l1，l2，l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（2分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＜1C．x≠0D．x≤1
8．（2分）在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2分）按一定顺序排列的单项式：﹣2x，4x3，﹣8x5，16x7，﹣32x9，64x11，…，第n个单项式是（ ）
A．2nxn+1B．2nxn﹣1
C．（﹣2）nx2n﹣1D．（﹣2）nx2n+1
11．（2分）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
12．（2分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24B．众数是24
C．平均数是20D．方差是9
13．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
14．（2分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．若，则cs∠BCD的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ．
17．（2分）因式分解：ax2﹣4a＝ ．
18．（2分）一个多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的内角和是 ．
19．（2分）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（6分）计算：．
21．（8分）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF，求证：△ABE≌△DCF．
22．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．
王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”
李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”
根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．
23．（8分）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率．
24．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）如果AB＝AC＝4，连接AE，求线段AE的长．
25．（8分）丽江华坪芒果是华坪特产，中国国家地理标志产品．其皮色新鲜，着色良好有光泽，外观亮丽，肉色橙黄嫩滑，核小肉厚，纤维少，口感清甜爽口，深受大家的喜爱．某华坪芒果生产基地生产的礼品盒包装的芒果每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱．为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱．
（1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，则每箱礼品盒包装的芒果应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少？
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，csC＝，求BF的长．
27．（8分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式：
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标；
（3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024年云南省丽江市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．每小题只有一个正确的选项）
1．（2分）我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走5步记作+5步，那么向南走7步记作（ ）
A．+7步B．﹣7步C．+12步D．﹣2步
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵向北走5步记作+5步，
∴向南走7步记作﹣7步．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（2分）2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至12月26日，累计发送旅客超180000人次，数据“180000”用科学记数法表示应为（ ）
A．180×104B．18×104C．1.8×105D．0.18×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：180000＝1.8×105，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．﹣1
【分析】根据反比例函数的性质，若在每个象限内y都随x的增大而减小，则可推出k的值为正数，再从选项中找到正数即可．
【解答】解：∵双曲线的每个分支上，y都随x的增大而减小，
∴k＞0，
选项中为正数的只有k＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大是解题的关键．
5．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．2a×3a＝6aB．3a2b﹣3ab2＝0
C．6a÷2a＝3D．（﹣2a）3＝﹣6a3
【分析】根据单项式乘单项式、同类项概念、单项式除以单项式、单项式乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、2a×3a＝6a2，此选项错误；
B、3a2b与3ab2不能合并，此选项错误；
C、6a÷2a＝3，此选项正确；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握单项式乘单项式、同类项概念、单项式除以单项式、单项式乘方的运算法则．
6．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直线l1，l2，l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先根据∠1＝40°得出∠3的度数，再由∠ABC＝90°得出∠4的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∠1＝40°，
∴∠1＝∠3＝40°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠4＝90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝∠4＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．（2分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＜1C．x≠0D．x≤1
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：1﹣x≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
8．（2分）在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：A．主视图和俯视图是正方形，故本选项符合题意；
B．主视图是一行两个相邻的矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D．主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
9．（2分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．
【解答】解：∵；
∴﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
10．（2分）按一定顺序排列的单项式：﹣2x，4x3，﹣8x5，16x7，﹣32x9，64x11，…，第n个单项式是（ ）
A．2nxn+1B．2nxn﹣1
C．（﹣2）nx2n﹣1D．（﹣2）nx2n+1
【分析】分别找到系数，符号以及字母的次数的规律，可解出本题．
【解答】解：第1个单项式是﹣2x＝（﹣2）1x2×1﹣1，
第2个单项式是4x3＝（﹣2）2x2×2﹣1，
第3个单项式是﹣8x5＝（﹣2）3x2×3﹣1，
第4个单项式是16x7＝（﹣2）4x2×4﹣1，
…，
第n个单项式是（﹣2）nx2n﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
11．（2分）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．（2分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24B．众数是24
C．平均数是20D．方差是9
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的求法逐项判断即可．
【解答】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，
故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；
众数是24，故B选项正确，符合题意；
平均数为，故C错误，不符合题意；
方差是：，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了众数、中位数、极差、平均数的定义，正确掌握相关的定义是解题关键．
13．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，根据Δ＞0，即可判断根的情况．
【解答】解：由题意得a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
14．（2分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2＝16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2＝16.8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．若，则cs∠BCD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形的性质可知∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠BCD＝∠A，根据，可得csA＝＝，进一步可得cs∠BCD．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵，
∵∠ACB＝90°，
∴tanA＝，
设BC＝4x（x＞0），
则AC＝3x，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得AB＝＝5x，
∴csA＝＝，
∴cs∠BCD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形的性质进行相等的角之间的转化是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
17．（2分）因式分解：ax2﹣4a＝ a（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【解答】解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字相乘法和分组分解法是解题的关键．
18．（2分）一个多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的内角和是 1800° ．
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角的度数求出边数，然后利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于30°，
∴多边形的边数为360°÷30°＝12，
∴这个多边形的内角和＝（12﹣2）•180°＝1800°．
故答案为：1800°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，求出相等的外角的度数然后求出边数是解题的关键．
19．（2分）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 30 ．
【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【解答】解：将l＝20π，n＝120代入扇形弧长公式l＝中，
得20π＝，
解得r＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（6分）计算：．
【分析】先计算立方根，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再进行加减计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF，求证：△ABE≌△DCF．
【分析】利用平行线的性质求得∠B＝∠C，利用SAS即可证明△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．
22．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．
王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”
李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”
根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．
【分析】设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时，列出方程求解比较即可．
【解答】解：李师傅在行驶过程中没有超速．
理由：设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时．
得，解方程，得x＝90．
经检验：x＝90是分式方程的解．
∴平均车速为1.2x＝108（千米/小时），
∴最快车速为108×（1+10%）＝118.8（千米/时）．
∵120＞118.8，
∴李师傅在行驶过程中没有超速．
【点评】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题关键．
23．（8分）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 100 人．
（2）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率．
【分析】（1）运用C小组的人数除以C小数的占比，即可作答．
（2）先列出所有的结果，再用概率公式代入数值化简，即可作答．
【解答】解：（1）35÷35%＝100（人）
本次调查的总人数为100人，
故答案为：100；
（2）依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下：
由以上，可得共有12种等可能的结果，其中选中C，D小组的结果有（D，C），（C，D）2种，
∴．
【点评】本题考查了列表法求概率以及扇形与条形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）如果AB＝AC＝4，连接AE，求线段AE的长．
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠COD＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝4，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，再由勾股定理得OD＝2，然后由矩形的性质得∠OCE＝90°，CE＝OD＝2，进而由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴∠OCE＝90°，CE＝OD＝2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）丽江华坪芒果是华坪特产，中国国家地理标志产品．其皮色新鲜，着色良好有光泽，外观亮丽，肉色橙黄嫩滑，核小肉厚，纤维少，口感清甜爽口，深受大家的喜爱．某华坪芒果生产基地生产的礼品盒包装的芒果每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱．为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱．
（1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，则每箱礼品盒包装的芒果应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少？
【分析】（1）根据定价50元出售，每天可销售200箱，每降价1元，日销售量可增加20箱列出y与x的函数关系式并求出自变量的取值范围即可；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200+20（50﹣x）＝﹣20x+1200（30≤x≤50），
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+1200（30≤x≤50）．
（2）设每天的利润为w，
根据题意，得w＝（x﹣30）×y＝（x﹣30）×（﹣20x+1200），
整理得w＝﹣20x2+1800x﹣36000，
即w＝﹣20（x﹣45）2+4500，
∵a＝﹣20＜0，
∴当x＝45时，w有最大值，最大值是4500．
答：每箱礼品盒包装的芒果应定价45元，每天可实现的最大利润是4500元．
【点评】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，csC＝，求BF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，勾股定理以及相似三角形的性质可求出圆的半径，再根据相似三角形的性质可求出BF．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵FD⊥AB，
∴FD⊥OD，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由于csC＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x，
∴BD＝＝3x，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠DBE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BDC＝90°，
∴△BED∽△BDC，
∴＝，
即，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴BC＝5x＝，
∴OD＝BC＝，
∵OD∥BE，
∴△FEB∽△FDO，
∴＝，
即＝，
解得FB＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
27．（8分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式：
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标；
（3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可；
（3）在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，易证△BOC≌△BOE，利用已知条件可求出B（0，4），E（1，0），进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4）．
∵S1﹣S2＝5，
∴S1＝S2+5．
∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．
∴＝+5．
∴y＝6．
∴﹣x2+3x+4＝6．
解得x1＝1，x2＝2．
∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）．
（3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4），
理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，
∵C﹣1，0），E（1，0），
∴OC＝0E＝1，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（SAS），
∴∠CBO＝EBO，
∵AP∥BE，
∴∠ABE＝∠PAB，
∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴∠PAB+∠CBO＝45°，
设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得，
解得：，
∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4，
∵AP∥BE，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f，
将A（4，0）代入得0＝﹣16+f，
解得：f＝16，
∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16，
由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16，
解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去），
∴P（3，4）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用．
第一次
第二次
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）