（文科）（解析版）-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，则，
由，则，解得，
所以，
所以.
故选：C
2．在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可.
【详解】由题意可得，
设的对角线的交点为，点的坐标为，
由中点坐标公式得，
所以点，即点对应的复数为，
故其共轭复数.
故选：B
3．已知函数（且），则其大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出时，，排除A；
时，，排除D；，C正确.
【详解】当时，，，故，排除A；
当时，，，故，排除D，
，，
则，故，C正确，B错误.
故选：C
4．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，则事件“两次正面朝上的点数之积大于8”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列举法求解相应的概率.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，
不同结果如下：
，共36个．
不满足条件的有
共16个，
所以满足条件的有个，所以概率为，
故选：B
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
【答案】C
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
6．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．2B．C．或2D．
【答案】D
【分析】先确定所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出，再根据商数关系化弦为切即可得解.
【详解】由题意，得角是第二象限角，则，
故，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
所以是第一象限角或第三象限角，则，
又因为，所以或（舍去），
所以．
故选：D．
7．已知命题p：对任意实数都有恒成立，命题q：关于x的方程有实数根.若为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出命题分别为真命题时实数a的取值范围，再由为真命题，可知至少有一个为真命题，从而可求得结果
【详解】对于命题，当时，恒成立，
当时，则由对任意实数都有恒成立，得，解得，
综上，当命题为真命题时，，
对于命题，由有实数根，得，解得，
因为为真命题，所以至少有一个为真命题，
若都为假命题，则，得，
所以当时，至少有一个为真命题，即为真命题，
即实数a的取值范围是，
故选：C
8．设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：

设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，
则，所以，
则，即，
解得或（舍去），则，
设，
由，消去y得，
则，解得，
所以直线方程为，即，
故选：A
9．已知，给出下列结论：
若，，且，则；
存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
若，则在上单调递增；
若在上恰有个零点，则的取值范围为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式得，利用余弦函数的图象和性质判断各选项即可.
【详解】①由题意可得，
由，，且得两相邻对称轴间的距离为，
所以，解得，故①错误；
②的图象向左平移个单位长度得
，
若关于轴对称，则，即，
解得，所以当时符合题意，故②正确；
③当时，，所以当时，，
因为在上单调递减，上单调递增，
所以在上单调递增，上单调递减，故③错误；
④设，当时，，
在上恰有5个零点，即在上恰有5个零点，
则，解得，故④错误．
故选：A．
10．在平面四边形中，，则的最大值为（ ）
A．B．
C．12D．15
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，求出C的轨迹方程，根据向量数量积及C点坐标的范围得最值.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，

因为，所以，
即，设，
由可知，点的轨迹为外接圆的一段劣弧，
且，即外接圆半径，
设外接圆的方程为，
代入点可得，，
解得或（舍去），
即点的轨迹方程为，
所以，即，
又，当时，，
此时点在劣弧上，满足题意，故的最大值为12.
故选：C
11．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（ ）
①若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.
A．①假命题，②真命题B．①假命题，②假命题
C．①真命题，②假命题D．①真命题，②真命题
【答案】D
【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
【详解】对于①：设等差数列的公差为，
则，所以，
即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，则，
即，则，
所以关于的二次函数，开口向上，
所以在上一定存在最小值，所以①正确;
对于②：取，
则，且,
为和谐数列等价于，证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证，即证，
当,上式左边为负数,显然成立；
当时，即证，即证，（*）
设，，
则在上单调递增，可得，
即（*）式成立，所以②正确.
故选：D.
12．设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数结合零点存在性定理得出，，，再根据，可得，即可得出答案.
【详解】因为，，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
所以，
因为，，解得：，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，
在上单调递增，
，所以存在使得，所以最大，
因为，
所以，
，
，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角是 ．
【答案】/
【分析】分别求出与的数量积与各自的模，利用数量积公式求解即可.
【详解】由题是夹角为60°的两个单位向量,
所以
设夹角大小为，
则，
所以.
故答案为：
14．将边长为2的等边沿边中线折起得到三棱锥，当所得三棱锥体积最大时，点到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】当时，三棱锥体积最大，利用等体积法：，从而可求解.
【详解】由题意知：当时，三棱锥有最大体积，此时：，
所以：，，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
15．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 .
【答案】
【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，，
则由正弦定理可得，
∵，∴，∴，
又∵，则，
∴，
∴.又由，
可得：，则，
∴，即，则，
∴，即，由解得：，
∴由解得：，.
∴由正弦定理可得：，解得：，，
∴.
故答案为：
16．已知函数的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ； ．
【答案】
【分析】①利用是奇函数，求出即可；②结合是偶函数，是奇函数，以及条件求出函数为周期函数，再利用赋值法，结合，求出函数在一个周期内的函数值，进而利用周期求出即.
【详解】因为是奇函数，
所以即，
由
，
又，
所以，
又是偶函数，
，
即，
，
，
由，
所以，①
即，②
②①：，
所以函数的周期为4，
所以由，
则令时，，
再令时，，
所以，
由，所以由
所以
，
故答案为：；.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.
(1)求的通项公式；
(2)当时，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，为等比数列，即是4的常数列，
故，1分
当时，，当时，，3分
∴数列，均为公比为4的等比数列，
，，5分
.6分
（2），8分
∴当时，数列的前项和为
10分
12分
18．（12分）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取2名运动员作进一步采访，求抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率．
参考公式：
临界值表：
【答案】(1)没有的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”
(2)
【详解】（1）提出假设外国运动员对唐装感兴趣与性别无关，1分
由已知4分
故没有的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”6分
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
则其中男性运动员4名，记为A、B、C、D，女性运动员2名，记为，7分
从6人中随机抽取两人，有，
共15个基本事件，9分
其中满足抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的有，，共8个基本事件，11分
抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率为12分
19．（12分）已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点.

(1)求证：平面PAB；
(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：

取中点,连,1分
是中点,∴且,
又∵且.∵且,3分
∴四边形为平行四边形，,4分
又∵平面，⊂平面，∴平面．5分
（2）取中点，连，过作交于，连,6分
∵分别是中点，∴，又∵平面．
∴⊥平面,平面,
∴，又∵，平面，
∴⊥平面，平面，8分
∴，∴是平面与平面的夹角的平面角.9分
∴.
,
∴.11分
∴12分
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为，所以
所以椭圆的方程为.2分
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以.4分
所以椭圆的标准方程为.5分
（2）存在定点，使.理由如下：6分
由（1）知，，则点.
设在轴上存在定点，使成立.
当直线斜率为时，直线右焦点的直线即轴与交于长轴两端点，
若，则，或.7分
当直线斜率不为时，设直线的方程为，.
由消去并整理，得，
则.9分
因为，所以，
所以，即.
所以，
即，
恒成立，
即对，恒成立，则，即.11分
又点满足条件.
综上所述，故存在定点，使.12分

21．（12分）（2023·青海西宁·统考二模）设函数．
(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数在其定义域上为增函数，即在上恒成立， 1分
所以在上恒成立，即在上恒成立，3分
又（仅当x＝1时取等号），4分
故a的取值范围为；5分
（2）在上存在，，使成立，即当时，6分
又，所以当时，，
即函数在区间上单调递增，故，
由（1）知，
因为，又的判别式，7分
①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，
故，故，即，得，
又，所以；9分
②当时，的两根为，，
此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以11分
综上，a的取值范围为．12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
(1)将的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；
（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），
则，，2分
两式相减，得的普通方程为：；
曲线的参数方程为（为参数），
所以的普通方程为：.5分
（2）因为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于A，7分
而的普通方程，可化为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于B，8分
又点，所以，
则．10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知a、b均为正数，设.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)1
【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解；
（2）同经验值性质求最小值得，再利用“1”的代换求最小值.
【详解】（1）由已知不等式为，
时，不等式为，，所以；1分
时，不等式为，，不成立；2分
时，不等式为，，所以，3分
综上，不等式的解集为；5分
（2），即的最小值是，6分
所以，又，所以，7分
所以，当且仅当时等号成立.9分
所以所求最小值为1.10分
有兴趣
无兴趣
合计
男性运动员
80
40
120
女性运动员
40
40
80
合计
120
80
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828