04（理科）（解析版） 备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

这是一份04（理科）（解析版） 备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解二次不等式及绝对值不等式，结合数轴即可求解.
【详解】因为，，因为，
则，所以.
故选：C．
2．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由已知得出，然后根据复数的除法运算化简得出，根据复数的几何意义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
则，
所以，复数对应的点为，该点位于第一象限.
故选：A.
3．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性可得答案.
【详解】因为，，
，
所以.
故选：C.
4．某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了名学生到三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】按照先分组，再分配的方法，即可求解.
【详解】将5名学生分成3组，3，1，1或是2，2，1
3，1，1的分组有种方法，2，2，1的分组有种方法，
所以分组方法共有种，再分配到3个劳动点，则有种方法.
故选：D
5．已知函数在上单调，且，则的取值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据单调区间可确定周期范围，结合可得，然后即可确定的取值.
【详解】因为函数在上单调，
所以，
又，
所以，得，
当，即时，满足题意，
此时.
故选：C
6．如图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（ ）
A．或4B．2或6C．或6D．6或4
【答案】C
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得，可知或，
解得或.
故选：C
7．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为16．则下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量
B．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．图中
【答案】B
【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】解：对于A：因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故A正确；
对于B：因为，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故B不正确．
对于C：学生成绩平均分为：，故C正确；
对于D：因为，解得，故D正确；
故选：B
8．已知各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，若中存在两项，，使得为其等比中项，则的最小值为（ ）
A．4B．9C．D．
【答案】D
【分析】根据，，成等差数列，可得，即可求得q值，根据为，的等比中项，可求得，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.
【详解】因为，，成等差数列，所以，
又为各项均为正数的等比数列，设首项为，公比为q，
所以，所以，
解得或（舍），
又为，的等比中项，
所以，
所以 ，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本不等式时，应注意取等条件，即角标m，n必须为正整数，属中档题.
9．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
，，
所以，故为等边三角形，为正三棱锥，
取的中点O，连接，则，
又面，所以面，
又面，所以，
又，分别为、中点，
，，
又，平面，平面，
又面，所以，
，，
在中由勾股定理得，
为正方体一部分，，即，
，
故选：D．
【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ）

A．为定值
B．当时，为定值
C．的取值范围是
D．的最大值为12
【答案】D
【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断C；由弦的最大值判断D.
【详解】如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，同理可得，故，B正确；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，C正确；
因为，则有，D错误.

故选：D
【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
11．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
12．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一，利用利用导数求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.解法二，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.解法三、四，利用切线放缩来求得的取值范围.
【详解】解法1：要使在上恒成立，只需即可．
，又，易知：在上递增．
因为当趋向于0时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以，在上存在唯一的零点，满足，
所以，且在上单调递减，在上单调递增，
于是．
由得：，必有，，
两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，即，故，
于是实数m的取值范围是．
解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
令，则只需即可．
，令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增．
因为，两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，即，即．
即．
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
先证明，令，则，
于是，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号），
所以，当时，有，所以，
即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明，令，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以，所以.
∵
∴，当时，等号成立；
而在上单调递增，且，
所以存在，使得成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，解决方法有很多，可以考虑直接法，也可以考虑分离参数法，还可以考虑利用放缩法来进行求解.在利用导数研究函数的单调性、最值的过程中，如果一次求导无法求得，可以考虑多次求导来进行求解.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数在处的切线方程为，则 ．
【答案】/
【分析】求导得到导函数，根据切线方程得到，解得答案.
【详解】，，
函数在处的切线方程为，即，则，
解得或（舍），故.
故答案为：
14．抛物线上的动点M到两定点的距离之和的最小值为 ．
【答案】4
【详解】[抛物线标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为，则的长度等于点M到准线的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点到直线的距离．即最小值为4．]
15．如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.
【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
设，则，
，又，所以，
即，则．
当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，
所以，，
，
当时，，当时，，
所以线段的长度的取值范围是．
故答案为：
16．若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先利用三角恒等变换求得，结合正弦定理边化角可得，进一步结合是锐角三角形、即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，所以，所以，
因为，所以.
因为外接圆的半径为，所以，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，即.
令，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，即，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是适当利用两角和差公式、正弦定理边化角将目标函数表示出来，然后结合角的范围求解即可.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列，满足，，.
(1)证明：为等差数列.
(2)设数列的前项和为，求.
【详解】（1）由题意得，，1分
则，3分
所以是首项，公差为1的等差数列. 5分
（2）由（1）得，则，7分
当为偶数时，
.9分
当为奇数时，为偶数，
则.11分
综上，.12分
18．（12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
【详解】（1）由频率分布直方图，得．2分
．4分
（2）（i）由（1）可知，，5分
所以，，6分
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．7分
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故9分
，所以，11分
X的数学期望．12分
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上．
(1)当是中点时，求点到平面的距离；
(2)当二面角的正弦值为时，求的值．
【详解】（1）因为平面，平面，所以，．
在平面内作，又，所以两两垂直，1分
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
2分
因为，，，N是中点，
则，，，，，，
，，．
设平面的法向量，
则即取．4分
所以点N到平面的距离．5分
（2）因为M是的中点，所以，设，
则，，．6分
设平面的法向量，
则即取．7分
设平面的法向量，
则即取．9分
设二面角的大小为，则．
设，因为二面角的正弦值为，
所以，解得，此时，11分
所以．12分
20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
(1)若，求的值；
(2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上．
【详解】（1）依题意可得，可设，，
由，消去整理得，2分
，，
，，
，4分
所以，解得或（舍去），
所以.4分
（2）由（1）知，，
若直线斜率存在，则，直线，
由得，又点在线段上，5分
所以，即，又，
，7分
设，则，
；
当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；
当时，不为定值，不合题意；9分
若直线斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设，从而有，，
此时，则直线，
设，则，，，
则时，，满足题意；11分
综上所述：当为定值，点在定直线上.12分
21．（12分）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．
【详解】（1）因为，所以，1分
当时，，函数在上单调递增；2分
当时，由，得，
函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减．4分
（2）要证，即证，
即证，5分
设，
故在上单调递增，又，所以，
又因为，所以，
所以，7分
①当时，因为，所以；8分
②当时，令，则，
设，则，设，
则，因为，所以，
所以即在上单调递增，10分
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，，
即．
综上可知，当时，，
即．12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）（ 2023·四川宜宾·统考一模）在平面直角坐标系中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求射线l和曲线C的极坐标方程；
(2)若射线l与曲线C交于点P，将射线绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求的面积．
【详解】（1）将代入得，
所以，所以射线l的极坐标方程为,2分
将代入得,
所以曲线C的极坐标方程为;4分
（2）由题可知，可以设，，5分
则，，7分
所以,8分
所以.10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1）由题知，当时，原不等式即，
当时，不等式为，解得；1分
当时，不等式为，恒成立；2分
当时，不等式为，解得，3分
综上，不等式的解集为；.5分
（2）因为，7分
当且仅当时不等式取等号，即，
所以，解得，9分
所以的取值范围是10分0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83