湖北省武汉市华中师大第一附中2023-2024学年度高二下学期四月月考数学试题（学生版+教师版）

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一、单选题
1. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（）
A. B. C. 0D. 1
2. 记为等比数列的前n项和，若，，则（）．
A. 120B. 85C. D.
3. 已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）
A. B. 2C. 4D.
4. 若函数在区间上的最小值为，则实数的值为（）
A. B. C. D.
5. 已知，，若成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A B. C. D.
7. 武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（）
A 19840种B. 16000种C. 31360种D. 9920种
8. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）
A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若，则数列等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
10. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）
A. 直线的斜率为B.
C. D.
11. 下列不等关系中，正确是（）
A B. C. D.
三、填空题
12. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是___________.
13. 已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为______．
14. 已知实数满足，，则______．
四、解答题
15. 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项.
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若数列满足，且，求数列的前n项和.
16. （1）已知函数，判断函数的单调性并证明；
（2）设为大于1的整数，证明：.
17. 如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，点P是直线BO上的点，且轴．
（1）当最小时，求直线l的方程；
（2）若直线PC，PD分别与抛物线相切，切点是C，D，求证：C，M，D三点共线．
18. 已知函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
19. 已知函数，.
（1）当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）.