2024年河南省南阳市第三中学中考三模数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A. 2B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出各选项数的绝对值，然后比较大小即可得．
【详解】解：A、，
B、；
C、；
D、；
∵，
∴的绝对值最大，
故选：D．
【点睛】题目主要考查绝对值的求法及数的大小比较，熟练掌握绝对值的求法是解题关键．
2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状图为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看物体，根据从左边看得到的图形即可得答案，解题的关键是正确理解从不同方向看简单几何体的平面图形．
【详解】解：由题意得，该几何体从左面看到的为：
，
故选：．
3. 国家统计局公布了2023年社会消费品零售情况，市场销售较快恢复，服务消费快速增长.社会消费品零售总额比上年增长7.2%，约为亿元.的原数为（ ）
A. 470B. 47000C. 470000D. 4700000
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，以及将科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示的数转化成原数，进而得出答案．
【详解】解：=470000，
原数是470000．
故选：C．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
选项B，，故选项B错误，不符合题意；
选项C，，故选项C错误，不符合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
5. 如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式计算判断即可．
【详解】∵，
∴，
故方程没有实数根，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
7. 如图，线段DE交线段BC于点E，AB∥CD，若∠1=40°，∠3=60°，则∠2等于（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质求出，再由三角形的外角性质求出∠2即可.
【详解】∵AB∥CD,
∴∠1=∠C,
∵∠1=40°,
∴∠C=40°
∵∠3=∠C+∠2,
∴∠2=∠3-∠C,
∵∠3=60°,
∴∠2=60°-40°=20°.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠C=30°是解题的关键.
8. 小卢在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 掷一个正六面体的骰子，出现点的概率
B. 在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率
C. 从这个整数中随机抽取一个整数，它能被整除的概率
D. 任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，根据统计图可得，实验结果在附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案，解题的关键是掌握概率公式及正确理解频率估计概率．
【详解】由统计图可得，实验结果在附近波动，即概率，
、掷一个正六面体的骰子，出现点的概率；
、在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率；
、从这个整数中随机抽取一个整数，它能被整除概率；
、任意买一张电影票，座位号是偶数概率；
故选：．
9. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
10. 如图，抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③； ④对于任意实数．
其中正确的结论有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、交点坐标、最值，逐项判断即可．
【详解】解： ∵对称轴为，
∴，即，
∴；
故①错误，
由图象可知当时，，
∴，
故②正确；
∵抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，，
故选项③正确；
∵抛物线抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴对于任意实数．
∴对于任意实数n，
故选项④正确，
综上所述正确的有：②③④．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 定义一种运算，计算____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

【答案】
【解析】
【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】
总共有12种组合，
《论语》和《大学》的概率，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
13. 已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________．（用“＞”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
抛物线开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴时取得最小值，
∵点关于直线的对称点为
，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由等腰三角形性质结合三角形外角的性质可得出．再根据角平分线的定义即得出，即易证，得出，设，则，从而可求出，，，．过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，易证，即得出，从而得出．设，则，，，从而可求出，，进而可求出，即可求出，最后由三角形面积公式，代入数据，即可求出k的值．
详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，
∴，
∴
∴，
∴，即．
设，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合题，考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形相似的判定和性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
15. 如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_____________
【答案】3或
【解析】
【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当时，如图：
则，
∴，
∴，
∴；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当时，如图
∵，，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述，的长是3或；
故答案为：3或；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算下列各题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，再根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，平方差公式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），其中组：，组：，组：，组：，组：，并绘制如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了__________名学生的成绩，频数直方图中_________，扇形统计图中组占_________．
（2）补全频数直方图．
（3）若将竞赛成绩在分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．
【答案】（1）；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）本题主要考查频数直方图和扇形统计图，结合频数直方图和扇形统计图所提供的信息，即可求得答案．
（2）本题主要考查频数直方图和扇形统计图，结合频数直方图和扇形统计图所提供的信息，即可求得答案．
（3）本题主要考查频数直方图和扇形统计图，结合频数直方图和扇形统计图所提供的信息，即可求得答案．
小问1详解】
本次调查一共随机抽取的学生数量(人)．
频数直方图中(人)．
扇形统计图中组所占百分比．
故答案为：；；
【小问2详解】
组人数(人)．
频数直方图如图所示．
【小问3详解】
组和组的学生总人数(人)．
优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．
18. 已知及圆外一点A，连接线段，请用无刻度直尺和圆规完成操作并解答．
（1）过点A作出的两条切线，，切点分别为点P、点Q；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点E为优弧上不与端点重合的一点，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）的度数为
【解析】
【分析】题目主要考查切线及中垂线的作法，圆周角定理及圆内接四边形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）作的垂直平分线确定的中点，然后以中点为圆心，长为半径作圆，交圆O于点P、Q，连接即可；
（2）连接，，根据圆周角定理确定，再由切线的性质及圆内接四边求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，，为所作.
【小问2详解】
连接，，如图所示
由圆周角定理知：.
，为的两条切线，
，
．
19. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
20. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富，为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本）
【答案】（1）；
（2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【解析】
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用；
（1）设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为，代入数据，解二元一次方程组，即可求解；
（2）等量关系式：销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，据此即可求解；
找出等量关系式，根据二次函数的性质求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为，由题意得
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：设利润为w元，由题意得
，
当时，
w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
21. 如图，一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝ (k＜0)图象交于点A(－4，m)，B(－1，2)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）填空：m= ，b= ，k= ；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S△PCA=S△PDB，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）－4＜x＜－1 （3）
【解析】
【分析】（1）将点B代入反比例函数和一次函数即可求出k和b的值，再将点A代入求出的一次函数中求出m的值；（2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得出不等式的解集；（3）P是线段AB上的一点，设，分别表示△PCA和△PDB的面积，列出等式求解即可．
【小问1详解】
将B(－1，2)代入y＝x＋b 和y＝中，
解得，，k=-2,
∴一次函数为，
将A代入得，，
解得；
故答案为：；
【小问2详解】
根据两函数图象一次函数图象在反比例函数图象上方时，－4＜x＜－1；
【小问3详解】
P是线段AB上的一点，设，
，
，
∴，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征以及面积问题，掌握数形结合思想是解题的关键．
22. 如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为
（2）当米时，三根“光带”长度之和的最大值为米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，用的值表示出，，的长度，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
正确记忆相关知识点是解题关键．
【小问1详解】
解：由题意知，顶点，，
可设该抛物线的函数表达式为，
抛物线过原点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
设点的坐标为，则，，
根据抛物线的轴对称性质，可得，
故，
，
，
当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米．
23. 已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）可得出，，从而得出结论；
（2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得，
从而得出；
（3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
不妨设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当时，即，
设，
分别延长，，分别交于，交于，
，
、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
同理可得：，
，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
x/元
15
20
25
30
y/袋
25
20
15
10