2024年辽宁省锦州市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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考试时间120分钟 试卷满分120分
※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 标志是表明事物特征的识别符号，下列交通标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，对各选项分析判断即可得解，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 今年的2月10日是我国农历春节，这一天锦州市的最高气温为，最低气温为－，则这天的温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数减法运算，用这一天锦州市的最高气温减去最低气温，求出这天的温差即可，解答此题的关键是要明确有理数的减法运算法则．
【详解】解：．
答：这天的温差是．
故选：D．
3. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的意义可知＜0，可知其在第四象限.
【详解】解：∵
∴点（2，）在第四象限，
故选D.
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）.
5. 若，则整式的值是（ ）
A. B. 3C. 5D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整体思想求代数式的值．将变形为，再将整体代入即可求解．
详解】解：∵，
∴．
故选：B
6. 如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何概型概率的求法，勾股定理，正方形的性质；设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，号板的面积为，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，
号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，
号板的面积为，
大正方形的面积为，
从这个正方形内任取一点，则刚好停在号板区域的概率是，
故选：C．
7. 已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由作图得：，平分，
，
，
，
，
，
故选：Ｃ．
8. 由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反应盐酸溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，根据盐酸是酸性，并且随着稀释，酸性越弱，即可得出答案．
【详解】解：盐酸是酸性，并且随着稀释，酸性越弱，故能大致反应盐酸溶液的与所加水的体积之间对应关系的是下图。
，
故选：A．
9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼.意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为：
，
故选：A．
10. 如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为( )
A. 143B. 140C. 123D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究，先求出前几个数之间的关系，找到规律为，再代入计算．
【详解】解：，
，
，
，
，
第个圆中规律为：，
当时，
，
故选：A．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，先算出根号，再相乘即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：6．
12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，进一步可得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
∵，
，
故答案为：．
13. 将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点，先根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减得出新函数为，令，则，求解即可得出答案．
【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后得到的解析式为，
令，则，
解得：，
所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
14. 小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的原因是______．
【答案】没有检验（只要合理即可）
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：从第四步开始出现了错误，则出现错误的原因是没有检验．
故答案为：没有检验．
15. 如图，在中，，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点D，E，F，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为______．
【答案】1或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，考虑两种情况，即点在下方，点在上方，利用折叠的性质和平行四边形的性质，即可解答，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：当即点在下方时，如图所示：
，
，，，
，
D为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
将沿DE折叠得到，
，
；
当即点在上方时，如图所示：
同上理，可得，
，
综上，可得为1或 ，
故答案为：1或 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）解不等式组： ；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、分式的加法，熟练掌握运算方法是解此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（2）先通分，再计算加法，最后约分即可得出答案．
【详解】解：（1），
解不等式①，得，
解不等式②，，
∴原不等式组解集为；
（2）原式
．
17. 为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？
【答案】（1）年平均增长率为
（2）137个
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意，得．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
【小问2详解】
解：根据题意得：（个）
答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个．
18. 2024年4月10辽宁省教育厅下发《关于面向39个产粮大县送教活动的通知》后，我市有关部门积极落实文件要求，小亮的班主任李老师承担了向锦州市北镇县送教任务，为了让学生了解锦州市粮食的产量情况，增强节约粮食的意识，送教前李老师给同学们布置了一项调查活动，调查锦州市历年粮食产量的相关情况，小亮同学查阅锦州市统计局公布的相关资料，了解了2018—2023年锦州市粮食总产量及其增长速度的情况，并将数据整理后绘制了如下条形统计图和不完整的折线统计图：
（注：，统计图右边的纵轴表示本年粮食总产量比上一年粮食总产量的增长速度）
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）求年全市粮食总产量的中位数；
（2）求2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多多少？并将粮食增长速度的折线统计图补充完整；
（3）小亮的同桌小红说：在年全市粮食总产量中，2019年全市粮食总产量增长速度是最快的，高达，因此可以推断这6年中，2019年全市粮食总产量是最高的．小红的说法是否正确，请说明理由．
【答案】（1）中位数为254.45万吨
（2）8.8万吨，补全图形见解析
（3）说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数、折线统计图、条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用，能从统计图中获取数据是解此题的关键．
（1）根据中位数的定义求解即可得出答案；
（2）求出2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多多少，从而得出2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量的增长速度，再补全折线统计图即可；
（3）根据粮食总产量不但与增长速度有关，还与增长基数有关说明理由即可．
【小问1详解】
解：将年6年全市粮食总产量由小到大排列，最中间的两个数据是253.5，
255.4，则中位数为（万吨）．
因此中位数为254.45万吨．
【小问2详解】
解：2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多（万吨），
2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量的增长速度为，
补全折线统计图如图所示．
第18题图
【小问3详解】
解：小红说法不正确，
理由如下：增长速度最高，只能说明2019年粮食的总产量与2018年粮食的总产量差额，是这6年中每年的粮食的总产量与前一年粮食的总产量差额最大的，2021年，2023年粮食的总产量与2019相比还在增长，即粮食产量均超过2019年，所以小红说法不正确．
19. 王老师外出学习入住宾馆的房间后立即打开空调，将最高温度调至，入住一段时间后关闭空调．已知空调关闭后，室内的温度与时间近似于反比例关系，下列图象反映了王老师入住房间后一段时间内，室内的温度y（）与时间t（）的关系，请根据图象解答下列问题：
（1）王老师入住多长时间关闭的空调？
（2）分别求室内的温度上升和下降两个阶段y与t之间的函数表达式
（3）室内温度保持不低于的时间是多少分钟？
【答案】（1）王老师入住时关闭空调
（2）上升阶段；下降阶段
（3）室内温度保持不低于的时间是
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，正确理解图中的信息是解题的关键．
（1）根据图形可知，当时，，故知王老师入住时关闭空调；
（2）当时，设y与t之间函数关系为，将点和的坐标分别代入中，解方程组求得和b的值，即得答案；当时，设y与t之间函数关系为，将点的坐标代入，即可求得的值，即得答案；
（3）将分别代入 和，求出所对应的t的值，再求出它们的差，即得答案．
【小问1详解】
由图象可知，王老师入住时关闭空调；
【小问2详解】
当时，即温度上升阶段，设y与t之间函数关系为，
将点和的坐标分别代入中，得，
解得，
；
当时，即温度下降阶段，设y与t之间函数关系为，
将点的坐标代入，得，
∴；
【小问3详解】
将代入 ，得，
解得；
将代入，得，
解得；
（），
室内温度保持不低于20℃的时间是．
20. 小明新买了一台护眼台灯放置于桌面上（如图1所示），主体部分由灯头（可以绕点B转动）、灯臂（可以绕点C转动）、灯柱和灯座组成，其主视图如图2所示，已知灯柱，，，，（为水平线）．改变的大小，能改变灯头照明的高度，改变的大小，能改变灯头的角度．当时，小明感觉照明效果最佳，此时台灯最高点A距桌面的距离是多少厘米？（计算结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
此时台灯最高点距桌面的距离，
此时台灯最高点距桌面的距离约为．
21. 如图，A是外接上一点，且，过点A的直径交于点F，交于点H，延长交的延长线于点P，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据弦和弧的关系得到，然后证明出，即可得到；
（2）首先求出，然后得到，勾股定理求出，然后得到，证明出，得到，然后代数求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∴．
∵，
∴，
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴；
小问2详解】
解：∵，是的垂直平分线，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
∴由勾股定理，得．
在中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
【点睛】此题考查了圆中弧和弦的关系，相似三角形的性质和判定，勾股定理，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
22. 某机器工程师为长虹食品加工厂设计自动化清洗池，其部分平面设计图如图1，为输送带，清洗池近似于抛物线型，为清洗池的池盖，点F处有进水口向清洗池注水，清洗池的最低点C处设有排水口，P为输送带上固定的支点，设备的支架，垂直于地面，支架垂直于（点C与点G重合，点A，M，H在同一直线上）．如图2，当DF张开最大角度时点F恰好在点B的正上方，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，，所对应的函数表达式为．
（1）求排水口C的坐标及抛物线型清洗池所对应的函数表达式；
（2）安装清洗池的固定支架与需要的材料是每延长米2400元，求安装固定支架的最低成本；
（3）如图3，清洗池可绕点B（点B处安装轴承与轴杆）逆时针旋转到某个位置（张开最大角度不变），排水口C到直线的距离等于的长时，点D恰好落在的延长线上，此时进水口F到清洗池口的距离是多少米？（结果保留精确值）
【答案】（1）点C坐标为，
（2）7100元 （3）m
【解析】
【分析】（1）先求解与坐标轴的交点坐标，结合，，可得C的坐标，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设N点坐标为（），则点P坐标为．可得，．再建立函数关系式结合二次函数的性质可得答案；
（3）如图，由题意得，，分别过点G，D作，垂直于y轴于点E，Q，证明，可得．设，则，则点D坐标为．求解，可得点D坐标为．求解．．如图，过点F作于点K，再利用等面积法可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
当时，，当时，，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵，，
∴点C坐标为，
设抛物线表达式为，将点B坐标代入，得．
∴．
∴抛物线表达式为．
【小问2详解】
设N点坐标为（），
则点P坐标为．
∴，．
∴．
∵，∴当时，最小，最小值为．
∴安装固定支架的最低成本为：（元）．
【小问3详解】
解：如图，由题意得，，
分别过点G，D作，垂直于y轴于点E，Q，
则，，．
∵，，
∴，
∴，即．
∴．
设，则，则点D坐标为．
将点代入，
得，（不符合题意的舍去）
∴点D坐标为．
∵，
∴．
∴．
根据勾股定理得，．
如图，过点F作于点K，
又∵，
∴，即进水口F到清洗池口的距离是．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23. 【问题提出】
如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，．
【思路探究】
“神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）神州小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“智慧小组”的解法：结合为的中点构造三角形的中位线，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证．
（2）过点作交于点，取中点，连接，证明，根据平行线的性质与判定证明，即可解答．
（3）分两种情况，点在内部，点在外部，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：神州小组的解法：如图，连接，延长交延长线于点，交于点，
，
，，
，
，
，，
由旋转可得，，
，，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
即．
“智慧小组”的解法：如图，延长交于点，
，，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
即，
，
，
，
，．
（2）解：，理由如下：
如图，过点作交于点，取中点，连接，
，，，
，，
，
，
由旋转，得，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
，，
，
．
（3）解：点在内部，如图，
，
，
，，
，
，，三点共线，
在中，，
，
，
解得；
点在外部，如图，
同理，可得方程，
解得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
解：方程两边同时乘，得，第一步
去括号，得，第二步
移项合并同类项，得，第三步
所以原分式方程的解为，第四步