2024年山东省菏泽市单县中考三模数学试题（学生版+教师版）

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1．本试题共 24 个题，满分 120分，考试时间120分钟．
2．请把答案写在答题卡上，选择题用 2B铅笔填涂，非选择题用0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列实数为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有限小数，，是有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直
B. 到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
C. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 ，，则乙的成绩更稳定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是命题与定理、平行线的判定、角平分线的性质、菱形的判定、方差的意义，解题关键是熟练掌握所学知识．
根据命题与定理、平行线的判定、角平分线的性质、菱形的判定、方差的意义对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，错误，命题为假命题，不符合题意，选项错误；
选项，在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，错误，命题为假命题，不符合题意，选项错误；
选项， 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形，正确，命题为真命题，符合题意，选项正确；
选项，，，则甲的成绩更稳定，错误，命题为假命题，不符合题意，选项错误．
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了乘法公式，分式的基本性质，熟知乘法公式和分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，这是一个几何体三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据三视图可得此几何体为圆锥，根据其尺寸求侧面积即可．
【详解】解：根据三视图可得：几何体为圆锥，底面直径为，圆锥的高为，
圆锥的母线长为，
其侧面积为：．
故选：C．
5. 在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方公式， 先根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式的特点求得，进而求得k即可求解
【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大面减小
∴，
则，
∵整式可以用完全平方公式进行因式分解．
∴，
则，
故，
∴该反比例函数的表达式为．
故选：B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，若矩形与矩形关于原点位似，且矩形的周长为矩形周长的，则点的坐标为（ ）
A. B.
C 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据矩形的周长为矩形周长的，得到位似比为，即可得到答案；
【详解】解：∵矩形与矩形关于原点位似，矩形的周长为矩形周长的，
∴矩形与矩形的位似比为，
∵顶点的坐标为，
∴的坐标为或，
即：的坐标为或，
故选：D．
7. 估计的值应在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵，
∴，
∴，
即的值在和之间
故选：．
8. 点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是根据一次函数增减性求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是熟练掌握用一次函数解析式判断其经过的象限．
结合、，即可判断、的取值范围，从而判断可能的图像．
【详解】解：，且，
、应为一正一负，
，，
即随着的增大而减小，
，
，
一次函数的图像会经过一、二、四象限．
故选：．
9. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形内接于，
，
，
是的直径，
，
，
∵
，
故选：D．

10. 二次函数部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像和性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
结合图像和二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的对称性可判断②；结合图像可得时，，再将代入二次函数的解析式即可判断③；利用的对称点，结合图像即可判断④；根据二次函数和一元二次方程的关系将一元二次方程求解问题转变为二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的平移规律即可判断⑤．
【详解】解：依图得：，，
二次函数对称轴为，
即，解得，
则，
，①正确；
该二次函数与轴的一个交点是，且对称轴为，
该二次函数与轴的另一个交点是，
将代入二次函数解析式可得，
②正确；
时，，
即，
，
，③正确；
根据二次函数的对称性可得的对称点是，
依题得当时，随着的增大而增大，
，
，④错误；
结合图像和二次函数解析式可得，求关于的方程的解可理解为求二次函数与轴交点的横坐标，此时的函数图像可由现函数图像向下平移一个单位长度后得到，此时，，
⑤正确．
综上可得：①②③⑤正确．
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：物理变化的卡片有A和D，则画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种，
所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为．
故答案为：．
12. 将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置， 若 那么的大小为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作与直尺平行，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同底数幂除法计算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，先利用加减消元法得到，进而得到，再推出，据此根据同底数幂除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
得，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
故答案为：．
14. 如图， 中， ， ， 点D 在边上， 、交于点F， 若则的度数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．先证明，，，可得，再求解，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
．
故答案为：．
15. 某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．这是个增长率问题，可设初始价格为，平均每个月降低的百分率为，经过了两次变化，价格变为，最终价格为初始价格的，从而可列方程求解．
【详解】解：设初始价格为，平均每个月降低的百分率为，
则根据题意可得，，
即，
解得，，
为下降率，故，
，即．
故答案为：．
16. 如图（），已知小正方形的面积为，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（））…；以此下去，则正方形的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律问题，根据勾股定理，结合正方形的面积公式，找出正方形的面积与序数的关系即可，解题的关键是找出正方形的面积与序数的关系．
【详解】由正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
，
正方形面积为：；
∴当时，正方形的面积为，
故答案为：．
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 解答下列各题
（1）求代数式 的值， 其中
（2）求不等式组 的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式组：
（1）先根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
，
当时，原式；
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
18. 如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为中点，的延长线交边于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为18，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的判定和性质得到，，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再证，然后证是等边三角形，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为18，
，即，
平行四边形是菱形
，
，
，
是等边三角形，
，即的长为4．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，这些学生成绩的中位数是 ；
（2）补全上面不完整的条形统计图；
（3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数．
【答案】（1）60，96分
（2）见解析 （3）900名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和平均数数，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形求出被抽查的学生总数，再求出分数为94分的人数，利用中位数定义求解即可；
（2）根据（1）中所求数值，补充条形统计图即可；
（3）求出98分及以上（含98分）的学生所占的百分比，再乘以2000即可．
【小问1详解】
解：，
∴本次调查共抽取了60名学生，
∵，
∴94分的有12人，
∵，，
∴这些学生成绩的中位数是96分．
故答案为：60，96分；
【小问2详解】
解：补全统计图：
；
【小问3详解】
解：2000×=900（名）．
答：估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是900名．
20. 图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（参考数据：，，）
（1）求图（2）中点B到一楼地面的距离；
（2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）过点B作于E，设m，由的坡度为，在Rt中，由勾股定理得，解得，即可得到答案；
（2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，可证得
四边形，四边形是矩形，求出和的长度，即可得到答案．
【小问1详解】
解：过点B作于E，如图：
设m，
的坡度为，
,
，
在Rt中，由勾股定理得：，
解得：，
，，
答：B到一楼地面的距离为；
【小问2详解】
过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，
由题意知：，，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形是矩形，
，，，
由（1）可知，，
，
在Rt中，，
，
，
答：日光灯C到一楼地面的距离约为．
21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，．
（1）点的坐标为______；
（2）求一次函数的解析式及的值；
（3）直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）一次函数解析式为，
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入解析式即可求出D点的坐标；
（2）已知可以求出OC的长度，再利用相似三角形的性质求出点P的坐标即可解决本题；
（3）要使，则要一次函数的图象在反比例函数图象的上方（不包含临界点），根据图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：在中，令，得，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
∵，，
，
，
解得，
由，可得：，
解得，
，，
把分别代入与，即，，
解得：，
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
【小问3详解】
解：，
一次函数的图象要在反比例函数图象的上方（不包含临界点），
则由图可知，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及到相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点并理清题意是解决本题的关键．
22. 如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可证明是的切线．
（2）连接，证明，列出比例式，计算即可．
本题考查了切线的证明，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，三角形的相似是解题的关键．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴；
∵点C是弧的中点，
∴；
∴；
∴；
∴，
∵
∴，
∴是的切线．
【小问2详解】
连接，
∵为的直径，
∴；
∵
∴，
∴，
∵点C是弧的中点，
∴；
∴；
∴，
∴，
∵,
∴（舍去），
故．
23. 已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标；
【答案】（1）
（2）点
（3）点
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，三角形外角的性质等等：
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为，即可得出点的坐标；
（3）设直线交轴于点，利用三角形外角的性质得到，则，即，求得直线的表达式为，联立并解得（舍去正值），即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：令，得，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，设点到的距离为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则是等腰直角三角形，

∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设直线交轴于点，

∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
联立，解得 (舍去正值)，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
（2）如图2，当落在对角线上时，求的长；
（3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
【答案】（1）
（2）
（3）点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长；
（3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案．
小问1详解】
解：连接，
由折叠得：，垂直平分.
∵在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∵，
∴.
【小问2详解】
依题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【小问3详解】
点落在对角线上时，线段长度最小时长为3.
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，
中，，
由折叠得：，，，
设，则，，
根据勾股定理得，，
则
解得
∴线段长度最小时的长为3.
【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．A
冰化成水
B
酒精燃烧
C
牛奶变质
D
衣服晾干