北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. =，该选项不符合题意，
B. 是最简二次根式，该选项符合题意，
C. =，该选项不符合题意，
D. =2，该选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，是解题的关键．
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方．
【详解】A、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、同类二次根式、二次根式加减乘法运算等知识，熟记二次根式性质及相关运算法则逐项判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、根据合并二次根式运算法则，，该选项正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、根据二次根式乘法运算法则，，该选项错误，不符合题意；
D、根据二次根式性质，，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解.
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键.
5. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6. 点O是四边形对角线的交点，给出下列四个条件：①，；②，；③，；④，．能判定四边形是平行四边形的有（ ）．
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断作答即可．
【详解】解：①，，无法判定四边形是平行四边形，故不符要求；
②，，可以判定四边形是平行四边形，故符要求；
③，，可以判定四边形是平行四边形，故符要求；
④，，无法判定四边形是平行四边形，故不符要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
7. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB＝36mB. MN∥ABC. MN＝CBD. CM＝AC
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线性质解答即可.
【详解】解：因为M、N是AC，BC的中点，
∴MN//AB，B正确；MN＝AB，
∵MN的长为18m，
∴AB=2MN=36 m，A正确；
∵CM=AC，D正确.
∵AB不一定等于CB，C错误.
故本题选C.
【点睛】本题考查三角形中位线，熟悉掌握相关性质是解题关键.
8. 如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对③进行判断即可．
【详解】解：①，，
，
点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），
，即，故结论①正确；
②，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，故结论②正确；
③连接，设，如下图所示：
在中，，，点为斜边上的中点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，即，
，
，
当且仅当时，即点，分别为，的中点时，，
此时，即，
当时，即点，不是，的中点时，，
此时，即，
，且等号可以取到，故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二.填空题（本题共18分，每题3分）
9. 若式子有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解．
【详解】根据题意，得，
解得，．
故答案为：．
10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6，则AB的长为___．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意易得OA=OB，则有∠AOB=60°，进而可得△AOB是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝6，
∴，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
11. 如图，在中，是斜边上的中线，度，则__度．
【答案】70
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题．
【详解】解：在中，
是斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：70．
12. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1． 点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分当Q在射线CB上和当Q在射线BC上两种情况利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，当Q在射线CB上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴，
∴；
如图所示，当Q在射线BC上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=90°，
∴，
∴，
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够理解Q的位置有两个.
13. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．
【答案】9
【解析】
【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．
【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，
，
，
．
故答案为：9
14. 如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在轴，轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝4，PN＝2，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．
【详解】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，
∵∠MON=90°，
∴Rt△MON中，OE=MN=2，
又∵∠MQP=90°，MN=4，PN=2，NE=2，
∴Rt△PNE中，，
又∵OP≤PE+OE=，
∴OP的最大值为，
即点P到原点O距离的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，两点之间线段最短，解题关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
三.解答题（本题共58分，15题8分，16题4分，17、18题5分，19-21题4分，22题6分，23题5分，24题7分，25题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算乘法，再化简算加减法；
（2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算．
【详解】（1）
（2）
．
16. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】把x的值代入多项式进行计算即可．
【详解】解：．
当时，
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先因式分解，再代入后利用平方差公式求解．
17. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质推出对应的边和角相等，即可证明，从而推出相应的边和角相等，即可证明四边形为平行四边形．
【详解】证明：，
，
．
，，
四边形 AMCN是平行四边形，
，
又，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形的全等，解题的关键在于熟练掌握判定三角形全等的方法以及相关平行四边形的性质．
18. 如图所示，在四边形中，，，，．

（1）求的长；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．
（1）利用勾股定理直接计算即可解题；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴．
19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的重直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
【详解】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20. 如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，
∴ ．
21. 同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等．
（1）猜想：______；
（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
（3）请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______．
【答案】（1）
（2）（答案不唯一，符合规律即可）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
（3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
【小问1详解】
解：，验证如下：
．
故答案为．
【小问2详解】
解：根据已知等式的规律可写出：，…．
故答案为（答案不唯一，符合规律即可）．
【小问3详解】
解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数的式子表示为：．
【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
22. 如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线重合可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得，根据菱形的四条边都相等可得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据直角三角形角所对的边是斜边的一半可得，根据勾股定理即可求出的值．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵平分，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理等．熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​
（1）请你将的面积直接填写在横线上：______；
（2）思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______．
（3）探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积．
【答案】（1）4.5 （2）图见解析，
（3）的面积为
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，割补法求面积，利用网格特征构图是解题的关键．
（1）直接利用割补法求面积即可；
（2）就是分别以格边为直角边的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，据此构图求解；
（3）设网格中小长方形的长为，宽为，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，据此构图求解．
【小问1详解】
的面积，
故答案为：45；
【小问2详解】
如图2中，即为所求，
的面积；
【小问3详解】
如图小长方形的长为n，宽为m，就是符合要求的三角形，
的面积．
24. 如图，在正方形中，E、F分别为和上的点，作于M．

（1）求证：；
（2）在上截取，连接，G为中点，连接，．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段和的数量关系，并证明．
【答案】（1）详见解析
（2）①图见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据平行线的性质得出，结合，通过导角可证；
（2）①依题意画图即可；②连接并延长使得，连接，，构造，推出，进而证明，推出，可证，是等腰直角三角形，可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①根据题意补全图形如图所示：

②，
证明：连接并延长使得，连接，．

∵点G为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
由正方形性质可知，，
∴，
∴，
则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则也是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
25. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”．
已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形．
（1）当时，直线l和正方形如图2所示．
①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
（2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①，；②或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用；
（1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解；
②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示，
∴，；是图形N“双称图形”；
②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为，
则，即
∴
同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为，
∵是图形N的“双称图形”，
∴与正方形有交点，
∴或，
解得：或
【小问2详解】
解：∵已知点，，
∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为
设点关于的对称点为，
则，即
∴，
设点关于的对称点为，
则，即
∴，
∵图形N是它自身的“双称图形”，
∴①或②
解不等式组①得
解不等式组②得
综上所述，