河南省安阳市（百师联盟）2023-2024学年高一下学期5月大联考数学试题（人教版）（学生版+教师版）

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注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数，则z的共轭复数在复平面中对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C. 四边形为平面图形
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3. 若单位向量，的夹角为，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
4. 在正四面体中，，，则点E到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. 12D.
5. 法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知p，q为实数，是关于x方程的一个根，则的值为（ ）
A. 14B. －14C. 38D. －38
7. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（ ）
A. B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，若，，若，则可能是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 含角的钝角三角形
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有（ ）
A. B. 与异面C. 与异面D.
11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O是重心，则
B. 若点O是的垂心，则
C. 若，则点O是的外心
D. 若O为的外心，H为的垂心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，且，则________．
13. 设M为内一点，且，则与的面积之比为______．
14. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为______；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）在复平面内表示的点位于第四象限．
16. 在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值．
17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．
（1）求的面积（用字母表示）；
（2）若，，，，，求M，N之间的距离．
18. 如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求到平面距离．
19. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：
（1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.
（2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.