江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题

这是一份江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题，共20页。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，集合，则= ▲ ．
2．已知，其中是实数， 虚数单位，那么 ▲ ．
3．依据下列算法的伪代码：
x←2
i←1
s←0
While i≤4
s←s×x＋1
i←i+1
End While
Print s
运行后输出的结果是 ▲ ．
4．双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则= ▲ ．
5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ．
6．若函数的图象关于坐标原点中心对称，且在轴右侧的第一个极值点为，则= ▲ ．
7．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ▲ ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
8．已知，则 ▲ ．
9．等比数列中， ，前项和为，满足，则 ▲ ．
10．已知实数满足，则的最大值为 ▲ ．
11．在△ABC中，，．设，交于点，且，(,),则的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，圆，圆，过轴负半轴上一点作圆的切线，与圆O相切于点A，与圆分别相交于点，若，则点的坐标为 ▲ ．
13．已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数是上的奇函数，且在区间上单调递增，．设，集合，集合，则 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）一副直角三角板按下左图拼接，将折起，得到三梭锥（下右图）．
（1）若分别为的中点，求证：平面；
（2）若平面平面，
求证：平面平面．
16．（本小题满分14分）
B
D
C
A
如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足．
（1）求的大小；
（2）若点是劣弧上一点，，求四边形的面积．
r
r
h
17．（本小题满分14分）
某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r的半球体.设计要求，蓄水池总体积为eq \F(64π,3)m3，且h≥2r.经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y千元.
（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当该蓄水池的总建造费用y最小时，求半径r的值.
18．（本小题满分16分）
已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分16分）
设是函数的两个极值点.
（1）当时,求函数的单调递减区间；
（2）若，求的最大值；
（3）若，且，函数，求证: .
20．（本小题满分16分）
已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
（1）若，，（），求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，求，的值；
（3）若，且，求证：数列是等差数列.
江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题）．满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
数学试题
数 学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲] （本小题满分10分）
如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．
B．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）
已知点P(a，b)，先对它作矩阵M对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为其中为参数．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求椭圆上的点到直线l距离的最大值和最小值.
D．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）
定义，设，其中a，b 均为正实数，证明：h．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
23．（本小题满分10分）
已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有an＋4＝an＋3＋an＋1＋an．
（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；
（2）求证：任意n∈N*，eq \R(,a2n a2n＋2)为整数．
江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题）．满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
数学试题答案
数学 = 1 \* ROMAN I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，集合，则= ▲ ．
【答案】
2．已知，其中是实数， 虚数单位，那么 ▲ ．
【答案】
【解析】，根据复数相等的充要条件可知，.
3．依据下列算法的伪代码：
x←2
i←1
s←0
While i≤4
s←s×x＋1
i←i+1
End While
Print s
运行后输出的结果是 ▲ ．
【答案】15
4．双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则= ▲ ．
【答案】4
5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ．
【答案】
6．若函数的图象关于坐标原点中心对称，且在轴右侧的第一个极值点为，则= ▲ ．
【答案】
7．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ▲ ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
【答案】③ ④
8．已知，则 ▲ ．
【答案】
【解析】由题设可知代入．
9．等比数列中， ，前项和为，满足，则 ▲ ．
【答案】
10．已知实数满足，则的最大值为 ▲ ．
【解析】画出可行域，为可行域内任意一点，目标函数理解为
长方形的面积，当取最大值时，点必在线段上，
即，又因为，即．
11．在△ABC中，，．设，交于点，且，(,),则的值为 ▲ ．
【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC，设AB，，
以AB，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则A，，，，，
直线的方程为：，① 直线的方程为：，②
由①②得，，，所以，
代入，得，，，
解得，，故．
【答案】
12．在平面直角坐标系中，圆，圆，过轴负半轴上一点作圆的切线，与圆O相切于点A，与圆分别相交于点，若，则点的坐标为 ▲ ．
【解析】设，连结，并作，
则，,在中，有
所以,解得，所以
又，所以，即，所以，所以．
13．已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
【解析】
若，对称轴时，在上递增
若，对称轴时，在上递增
所以当时，在上递增，则函数不可能有三个零点，
故只需考虑的情况
画出的大致图象知，要使得函数有三个零点，只能
即，即存在，使得即可
令，只要使即可，而
故．
14．已知函数是上的奇函数，且在区间上单调递增，．设，集合，集合，则 ▲ ．
【解析】易得，，所以或
由此，所以
即，恒成立
即，即
令，则对恒成立，所以
令，所以
所以
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
一副直角三角板按下左图拼接，将折起，得到三梭锥（下右图）．
（1）若分别为的中点，求证：平面；
（2）若平面平面，求证：平面平面．
B
D
C
A
16．（本小题满分14分）
如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足．
（1）求的大小；
（2）若点是劣弧上一点，，求四边形的面积．
【解析】（1）方法1
设外接圆的半径为R，则a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入得
2RsinAcsC＋2RsinCcsA＝2×2RsinBcsB， ……2分
即sinAcsC＋sinCcsA＝2sinBcsB，所以sinB＝2sinBcsB．
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以csB＝ eq \f(1,2)． ……4分
因为0＜B＜π，所以B＝ eq \f(π,3)． ……5分
方法2
根据余弦定理，得a· EQ \F(a2＋b2－c2,2ab)＋c· EQ \F(b2＋c2－a2,2bc)＝2b·csB， ……2分
化简得csB＝ eq \f(1,2)． ……4分
因为0＜B＜π，所以B＝ eq \f(π,3)． ……5分
（2）在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs∠ABC
＝9＋4－2×3×2× eq \f(1,2)＝7，所以AC＝ eq \r(7)． ……7分
因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC＝ eq \f(2π,3)． ……8分
在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cs∠ADC， 代入得7＝1＋CD2－2·CD·(－ eq \f(1,2))，
所以CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2或CD＝－3（舍）． ……12分
所以SABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝ eq \f(1,2)AB·BC sin∠ABC＋ eq \f(1,2)AD·CD sin∠ADC＝ eq \f(1,2)×3×2× eq \f( eq \r(3),2)＋ eq \f(1,2)×1×2× eq \f( eq \r(3),2)＝2 eq \r(3)．……14分
17．（本小题满分14分）
r
r
h
某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r的半球体.设计要求，蓄水池总体积为eq \F(64π,3)m3，且h≥2r.经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y千元.
（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当该蓄水池的总建造费用y最小时，求半径r的值.
【解析】（1）由题意知πr2h＋eq \F(1,2)×eq \F(4,3)πr3＝eq \F(64π,3)，故h＝eq \F(2,3)(eq \F(32,r2)－r)， ……2分
由于h≥2r，因此eq \F(2,3)(eq \F(32,r2)－r)≥2r，解得0＜r≤2， ……4分
所以建造费y＝2πr2c＋(2πrh＋πr2)×3＝π(2c－1)r2＋eq \F(128π, r )，定义域为(0，2]. ……6分
（2）由（1）得y′＝eq \F(2π(2c－1)(r3－eq \F(64,2c－1)), r2)，当eq \F(64,2c－1)≥8即3＜c≤eq \F(9,2)时，y′≤0恒成立，
此时函数y＝π(2c－1)r2＋eq \F(128π, r )在(0，2]上单调递减，因此r＝2时，总建造费用y最小；……8分
当eq \F(64,2c－1)＜8即c＞eq \F(9,2)时，令y′＝0得r＝ eq \r(3,eq \F(64,2c－1))∈(0，2)，
当0＜r＜ eq \r(3,eq \F(64,2c－1))时，y′＜0；当 eq \r(3,eq \F(64,2c－1))＜r＜2时，y′＞0， ……10分
所以函数y＝π(2c－1)r2＋eq \F(128π, r )在(0， eq \r(3,eq \F(64,2c－1)))上单调递减，在( eq \r(3,eq \F(64,2c－1))，2)上单调递增，
所以r＝ eq \r(3,eq \F(64,2c－1))时，总建造费用y最小. ……12分
综上所述，当3＜c≤eq \F(9,2)时，总建造费用y最小时，r＝2m；
当c＞eq \F(9,2)时，总建造费用y最小时，r＝ eq \r(3,eq \F(64,2c－1))m. ……14分
18．（本小题满分16分）
已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
【解析】设直线与椭圆的交点坐标为.
（1）把代入可得：， ……2分
则，当且仅当时取等号 ……4分
（2）由得，， ……6分
所以
……9分
（3）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，
由消去整理得
则 ① 又 ②
若存在定点符合题意，且
……11分
把①、②式代入上式整理得
(其中都是常数)
要使得上式对变量恒成立，当且仅当
，解得 ……13分
当时，定点就是椭圆的右顶点，此时，；
当时，定点就是椭圆的左顶点，此时，； ……15分
当直线与轴垂直时，由，解得两交点坐标为
，可验证：或
所以，存在一点（或），使直线和的斜率的乘积为
非零常数（或）. ……16分
19．（本小题满分16分）
设是函数的两个极值点.
（1）当时,求函数的单调递减区间；
（2）若，求的最大值；
（3）若，且，函数，求证: .
【解析】（1）当时，，
令，即，又， ……2分
列表：
的单调减区间为 ……4分
（2）由题设，
是的两个极值点，
即是方程的两个根，
对一切恒成立，
，又
……7分
，
设，则，
令，又，得
列表
由表可知，，即 ……10分
（3）证明：是方程的两个根，
,又
……16分
20．（本小题满分16分）
已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
（1）若，，（），求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，求，的值；
（3）若，且，求证：数列是等差数列.
……4分
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③ ……6分
②①，得 ， ③②，得 ， 解得．代入①式，得．
此时()，所以，是公比为１的等比数列，故． ……8分
（3）证明：若，由，得，又，解得．
由，， ，，代入得，所以，，成等差数列，……10分
由，得，两式相减得：
即，所以
相减得：
所以 ……14分
所以
，
因为，所以，即数列是等差数列. ……16分
江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题）．满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
数学试题答案
数 学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲] （本小题满分10分）
如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．
【解析】连接BC，相交于点．
因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．
设，则，由射影定理得CE EQ \s\up4(2)＝AE·EB， ……5分
又，即有，解得（舍）或．
所以，AC EQ \s\up4(2)＝AE·AB＝5×6＝30，． ……10分
B．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）
已知点P(a，b)，先对它作矩阵M对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．
【解析】依题意，NM，
由逆矩阵公式得，(NM)， ……5分
所以，即有，． ……10分
C．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为其中为参数．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求椭圆上的点到直线l距离的最大值和最小值.
【解析】由，得，即的直角坐标方程为．……4分
因为椭圆的参数方程为
所以椭圆上的点到直线距离,……8分
所以的最大值为，最小值为． ……10分
D．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）
定义，设，其中a，b 均为正实数，证明：h．
【解析】因为a，b 均为正实数，所以． ……5分
因为，所以，即． ……10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
【解析】（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD． ……2分
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以 ，，，．
所以 ，，所以，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为． ……5分
（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量为，
所以，
解得，或（舍）．所以． ……10分
23．（本小题满分10分）
已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有an＋4＝an＋3＋an＋1＋an．
（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；
（2）求证：任意n∈N*，eq \R(,a2n a2n＋2)为整数．
证明：（1）因为a3＝a2＋a1，因此n＝1时，命题成立；
假设n＝k时，命题成立，即a2k＋1＝a2k＋a2k－1，
则a2k＋3＝a2k＋2＋a2k＋a2k－1＝a2k＋2＋a2k＋1，
即n＝k＋1时，命题也成立，
因此任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1． ……3分
（2）易知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，a5＝6，a6＝9，a7＝15，a8＝25，
eq \R(,a2a4)＝2，eq \R(,a4a6)＝6，eq \R(,a6a8)＝15，
猜想eq \R(,a2na2n＋2)＝a2n＋1，n∈N*， ……5分
证明：当n＝1时，命题成立；
假设n＝k时，命题成立，即eq \R(,a2ka2k＋2)＝a2k＋1，
则eq \R(,a2k＋2a2k＋4)＝eq \R(,a2k＋2(a2k＋3＋a2k＋1＋a2k))
＝eq \R(,a2k＋2(a2k＋2＋a2k＋1＋a2k＋1＋a2k))
＝eq \R(,a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2ka2k＋2)
＝eq \R(,a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2k＋12)
＝a2k＋2＋a2k＋1
＝a2k＋3，
即n＝k＋1时，命题也成立，
所以eq \R(,a2na2n＋2)＝a2n＋1，n∈N*，
又a2n＋1∈N*，因此任意n∈N*，eq \R(,a2na2n＋2)为正整数． ……10分
+
0
-
0
+
极大值
极小值
（0,4）
4
（4,6）
+
0
-
极大值