重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解∶∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选∶A．
2. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处
答案：B
解析：如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B．
3. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：∵，
，，故A选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，，故D选项不正确，不符合题意；
故选C．
4. 下列命题中，正确的命题有 （ ）个．
①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于
③有理数和数轴上的点一一对应
④若在平面直角坐标系中，点满足，则点在原点上
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：解：①如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，故原说法错误；
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于，正确；
③实数和数轴上点一一对应，故原说法错误；
④若在平面直角坐标系中，点满足，则或，故点在x轴或y轴上，故原说法错误；
故选：A．
5. 估计的值在（ ）
A. 14到14.5之间B. 14.5到15之间C. 15到15.5之间D. 15.5到16之间
答案：D
解析：解：
∵，
则
故选：D
6. 如图，在正方形中，点分别在边上，连接，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解∶过A作交于N，交于M，
，
∵正方形，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7. 若，则的值为（ ）
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
答案：A
解析：解：∵
∴，
则
把，代入上式，得
故选：A
8. 观察并找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是（ ）

A. 3037B. 3036C. 3035D. 3034
答案：B
解析：解：∵第一个图黑色正方形的数量为个；第三个图黑色正方形的数量为个；第五个图黑色正方形的数量为个；
∴当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个，
∵第二个图黑色正方形的数量为个；第四个图黑色正方形的数量为个；
∴当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；
∴当时，黑色正方形的个数为（个），
故选B．
9. 如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A. 8.2B. 7.8C. 6.4D. 5.6
答案：C
解析：解：如图：分别过点E作，的面积分别记

∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
10. 定义“[ ]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数． 例如：，，在式子中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[ ]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”．
例如：，
．
下列说法：
①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；
②存在“取整操作”的运算结果为整数；
③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果；
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：解：依题意，原式：
∴存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；故①是错误的；
∴不存在“取整操作”的运算结果为整数；故②是错误的；
∴所有的“取整操作”共有6种不同运算结果,分别是；故③是正确的；
故选：B
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）
11. 若代数式是一个完全平方式，则实数_____________________．
答案：
解析：解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为_____________________．
答案：10
解析：解：依题意，把代入
得
∴
∵
即
∴
故答案为：10
13. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 _______．
答案：
解析：解：分式方程去分母得：，
整理，得，
故
∵方程有整数解，且，
∴，，，，且，，
解得，，，
解不等式组得：，
∵不等式组至多有6个整数解，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的和是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是_____________________．
答案：1或
解析：解：当点在上时，
此时，
设，
∵，
∴，
解得，即；
当点在上时，过B作于H，过点D作于点G，做于点N，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵翻折，且点在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
设，，
∵，
∴，
化简得，
∴，
解得，，即或（不合题意，舍去）．
综上，的值为1或．
15. 有一种把整数分类的方法，指定一个整数，把所有除以后得到的余数相等的整数分为一类． 例：当时，0，3，6，…除以3，余数为0，这是一类：1，4，7，…余数为1，这也是一类；2，5，8，…是最后一类． 定义：一个整数对称位置上的数字为同一类整数（按除以的余数分类），则称其为“的对称同余数”． 例：整数54340，是“5的对称同余数”，但不是“3的对称同余数”． 已知一个四位整数，既是“4的对称同余数”，又是完全平方数（即是某个整数的平方），则满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为_____________________．
答案：
解析：解：∵一个完全平方数（即是某个整数的平方）四位整数，完全平方数（即是某个整数的平方），
∴
∵不满足“4的对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；4除以4的余数是0，不对称，故舍去）
∴满足“4对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；9除以4的余数是0，除以4的余数；8除以4的余数是0，对称）
∴最小的四位数为1089；
同理不是4位数，故舍去；
满足“4的对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；9除以4的余数是0，除以4的余数；8除以4的余数是0，对称）
∴最大的四位数是9801
∴满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为
故答案为：
三、解答题（本大题共5个小题，每题15分，共75分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
16. 如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形．
（1）如图1，若与交于点，且，求的度数；
（2）在（1）的基础上，连接，求证：、、三点共线；
（3）如图2，当点是线段中点，连接，求线段的长．
答案：（1）125°
（2）见解析 （3）
小问1解析：
解：∵四边形、四边形是正方形
∴
则
即
∵
∴
∵
∴
则
∴；
小问2解析：
解：连接，如图所示：
∵四边形、四边形是正方形
∴
∴
则
∴
∴
∵
∴、、三点共线；
小问3解析：
解：过点F作的延长线，连接
∵四边形、四边形是正方形
∴
∵
∴
则
∴
∵正方形的边长为5
∴
17. 阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）计算：；
（2）证明：；
（3）已知，探究与的关系．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
小问1解析：
解：原式
，
小问2解析：
解：∵，
，
∴，
∴；
小问3解析：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
两式相加，得，
∴．
18. 阅读材料：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，应得多少肉？（所带的钱买16两肉还差40文，买9两肉又多出16文，问所带钱能买多少肉？）”这又是一个歌谣体的古算题，见明程大位《算法统宗》书中．
古算法解盈朒（，亏损）问题，另立专法，将两次所买肉的两数同两次盈脑的数列成下式：
，交叉相乘，两积相并（相加），得数为被除数，又盈相并，得数为除数，两数相除即得．
前题若依古法计算，列式：
，哑子应得肉两．同新法比较，简易而又别致．
——许莼舫《古算趣味》
（1）将原题改为“十两多八文，十三少十六”（所带的钱买10两肉多出8文，买13两肉还差16文），用古法解决这个问题；
（2）将原题改为“八两多廿四，九两多十六”（所带的钱买8两肉多出24文，买9两肉又多出16文），能否使用上述古算法解决？如果不能，则说明理由；如果能，算出答案，并说明其合理性；
（3）将问题一般化：所带的钱买两肉还差文，买两肉又多出文，问所带钱能买多少肉？，试用代数方法证明古法公式“能买肉两”的正确性．
答案：（1）
（2），理由见解析
（3）见解析
小问1解析：
解：依古法计算，列式：
哑子应得肉两．
小问2解析：
解：能，将所带的钱买8两肉多出24文，看作所带的钱买8两肉少文，
列式为：
小问3解析：
解：列式为
设肉价为每两文，他所带钱数为文，
依题意得，
解得：
∴
19. 定义运算：当时，；当时，；如：；；．
（1）若，求的取值范围；
（2）过轴上的动点，作平行于轴的直线，分别与函数的图象相交于、两点（点在点的左侧），若，求的值；
（3）若一次函数图象与函数的图象相交于、两点，，求的取值范围．
答案：（1）；
（2）或；
（3）
小问1解析：
解：∵，
∴，
解得；
小问2解析：
解：当时，解得，
；
当时，时，
；
过轴上的动点，作平行于轴的直线，
，，
，
，
解得或；
小问3解析：
解：画出函数的图象如图，

一次函数图象与函数的图象相交于、两点，
，，
解得，，
设，，
，
，，
，
，
，
把点代入得，，
一次函数图象与函数的图象相交于、两点，
，
．
20. 直角坐标平面内，有一条曲线，曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点．

（1）如图1，过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，求证：；
（2）如图2，动直线为与曲线相交于、两点，过、两点分别作直线的垂线段，垂足分别、，作的平分线，交直线于，连接，求证：平分；
（3）如图3，是曲线上一动点，是曲线外部一点，是直线上一动点，直接写出的最小值．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
小问1解析：
解：∵曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点，
∴，
∵过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴；
小问2解析：
解：连接，
∵的平分线，
∴，
由（1）知，设点，
∴，
∵过曲线上一点B，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过、两点分别作直线的垂线段，垂足分别、，
∴，
由（1）的结论可知，同理得，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
小问3解析：
解：连接，连接且交曲线于一点，
由（1）的结论可知，
∵曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点，
∴，
∵过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴，
∴，
当的最小值，即，
∵，，
∴，
即的最小值为．