重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选：D．
2. 已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
答案：D
解析：解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：D．
3. 已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是菱形D. 当时，它是菱形
答案：D
解析：解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
4. 估算结果（ ）
A. 在6和7之间B. 在7和8之间C. 在8和9之间D. 在9和10之间
答案：A
解析：∵
，
且，
∴，
故选A．
5. 已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：一次函数，随着的增大而减小，
，
又，
，
此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
6. 如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：解：如图，过B作于C，过作轴于D，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，
；
在和中，
，
又，即，，
，
．
故选C．
7. 菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（ ）

A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项A正确；
∵，
∴，
∴，
故选项B正确；
∵，
故选项C正确；
∵，
∴，
故选项D错误；
故选：D．

8. 如图所示，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形、、、，，若连续作旋转变换，则第次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，，
∴，
由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为，
这样旋转次直角顶点是，再旋转一次到三角形，直角顶点仍然是，，
题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合，
∵，
∴，再翻转一次，直角顶点不变，
∴第次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为，
故选：．
9. 如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A. 10B. 6C. D.
答案：C
解析：解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：B
解析：解：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：
，
故①正确；
②对x，，5进行“差绝对值运算”得：
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得：
，
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 16的算术平方根是___________．
答案：4
解析：解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 点P在一次函数的图象上，且点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为______．
答案：或
解析：解：点到x轴的距离为3，
点的纵坐标为，
当时，；
当时，，
则P点的坐标为：或，
故答案为：或．
13. 如图，菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为N，连结CP，则∠BPC＝_____度．
答案：72
解析：解：如图，连接AP，
在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，
∴∠ADP＝∠ADC＝ ×70°＝36°，
∵NP是AB的垂直平分线，
∴AP＝CP，
∴∠ADP＝∠DAP＝36°，
∴∠APB＝∠ADP+∠DAP＝36°+36°＝72°，
由菱形的对称性得，∠CPB＝∠APB＝72°．
故答案为：72．
14. 如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为______．
答案：
解析：解：如图，
把绕点逆时针旋转90°得到，
根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，
，，
，

，

在直角三角形中
故答案为：．
15. 如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
答案：13
解析：解：如图，连接BP，
矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
16. 如图，将一张长方形纸片沿着对角线向下折叠，顶点A落在点处，交于点E，的垂直平分线分别交，点F，G，H，连接，若，则的长为________．

答案：
解析：解:由题可知，，
，
∴，
∴，
设，则，
在中,，
∴，解得 ，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴ ，
∴，
连接.设,则，

在中, ，
在中,
在中,，即：
解得，
∴ ，
故答案为：．
17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为_____．
答案：8
解析：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴，
解分式方程，得，
∵该分式方程有非负数解，
∴当时，且
∴且，
∴且，
∴满足条件的所有整数a为：，，，，，，
它们的和为：．
故答案为：8
18. 如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八喜数”，把数分解成的过程，称为“八喜分解”． 例如；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”． 把一个“八喜数”进行“八喜分解"，即，与之和记为，与之差记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值与最小值的差是_________________．
答案：
解析：解：设A的十位数为a，个位数为b，
则，，
∴，，
∵能被8整除，
∴，为整数，
∴
∴是4的倍数，
∴满足条件的a有2，6，
若，则 为整数，
∴
∴是3的因数，
∴，，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴或或或，
∴或，
若，则 为整数，
∴
∴是8的因数，
∴，，，，1，2，4，8，又自然数M的个位数字不为0，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴或或或，
∴或，
综上，M的值为或或或．
所以M的最大值与最小值的差．
故答案为：．
三、解答题（共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
答案：
小问1解析：
解：原式
；
小问2解析：
解：原式
；
小问3解析：
解：原式
；
小问4解析：
解：原式
．
20. 学习了矩形的判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线的距离的数量关系进行了拓展性研究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作等腰三角形的外角的角平分线，再过点C作于点H．（只保留作图痕迹）
已知：如图，三角形中，，是底边上的高，平分，于点H．求证：．

证明：∵平分，
∴
∵，是底边上的高
∴ ① ，
又∵
∴ ②
又∵于点H
∴ ③
∴四边形矩形
∴
小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于 ④ ．
答案：作图见解析；①；②90°；③；④底角顶点到顶角外角平分线的距离；
解析：解：作图如下：

证明：∵平分，
∴，
∵，是底边上的高，
∴，，
又∵，
∴，
又∵于点H，
∴，
∴四边形为矩形
∴
小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于底角顶点到顶角外角平分线的距离．
故答案为：①；②；③；④底角顶点到顶角外角平分线的距离
21. 如图，在Rt中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，菱形的面积为40，求的长．
答案：（1）详见解析
（2）
小问1解析：
证明：∵，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
小问2解析：
解：四边形是菱形，
∴，
点是的中点，
∴，
∴，
，
，
，
的长为10．
22. 重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡”的美誉．已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元．
（1）请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价．
（2）某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的．在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元．为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝（此样品不再销售给顾客）．若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？
答案：（1） 每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为元、元．
（2）购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为元．
小问1解析：
解：设每件鲜脆榨菜丝的进价为元，每件麻辣萝卜干的进价为元，
由题意得：，解得：，
答：每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为元、元．
小问2解析：
解：设利润为，鲜脆榨菜丝的数量为件，则麻辣萝卜干的数量为件，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当，时，有最大值，最大值为元，
即购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为元．
23. 如图，四边形中，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动速度为2，时间为，连接，记的面积为，请解答下列问题：

（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合图象，当的面积不大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）
答案：（1）
（2）图见解析，在，y随x的增大而增大（有理即可）
（3）当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或．
小问1解析：
解：当点P在上时，，
当点P在上时，，
即，
∴．
小问2解析：
根据（1）中表达式画函数图象如下：

在，y随x的增大而增大．
小问3解析：
，
当点P在上时，，即，
∴，
当点P在上时，，即，
∴，
∴当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出点坐标及的最小值．
（3）如图3，在（2）的条件下，将点沿着射线方向平移2个单位得到点，将沿着射线方向平移2个单位得到，若点是直线上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的横坐标．
答案：（1）直线的解析式为：
（2）点横坐标为：；的最小值为：
（3）点的横坐标为：或或
小问1解析：
点是直线与轴的交点，设点坐标为，
，
点坐标为：，
设直线的解析式为，
直线经过点和点，
解得
故直线的解析式为：．
小问2解析：

与的面积比为，
,
过点分别作轴和轴的垂线，分别交轴和轴于点、点，
根据平行线成比例线段可得：，
又，，
，，
点的坐标为： ，
点是直线与轴的交点，设点坐标为，
，解得：，
点坐标为：，
又点 ，点，
直线的斜率，直线的斜率，，
，，
，
在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点，
在和中，，
,
，，
由三角函数可得，,
解得：，
,
故点的横坐标为：；的最小值为：．
小问3解析：
设交轴于点，交轴于点，
由平移的性质可得， ，，，
，点坐标为，
由三角函数可得，，
，
解得：，，
点的坐标为：，
点在直线上，设点坐标为，
由两点间距离公式：
，
，
，
当时，
，解得：，
时，
，解得：，，
故点的横坐标为：或或．
25. 如图，在中，，为的角平分线．
（1）如图1，若，求出的度数；
（2）如图2，当时，将线段绕点顺时针旋转得线段．点是线段上一点，且，连接，当，请判断，与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当时，为线段上一动点，为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段．为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，．当最大时，直接写出的面积的最大值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
小问1解析：
解：如图所示，在上截取，
∵为的角平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴；
小问2解析：
解：如图所示，连接交于点，
∵为的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵将线段绕点顺时针旋转得线段，，
∴，，
∴，
又∵，则，
∴，
又∵，
∴，
又∵,，
∴，
∴，
∴；
小问3解析：
解：∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵最大时即取得最小值时，
当时，最小，如图所示，设与交于点，
依题意，，且，
则，，
∴的面积最大时，为边上的高取得最大值，
∴当最大时，即与重合时，取的最大值，
此时，
∴的面积的最大值为．