四川省成都市树德中学2024届高三下学期高考适应性考试数学（文） 试题

这是一份四川省成都市树德中学2024届高三下学期高考适应性考试数学（文） 试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A.B.C.D.
3.“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量，的夹角为，若，，则（ ）
A.B.C.D.
5.设等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A.285B.302C.316D.363
6.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A.5B.4C.3D.2
8.随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值是（ ）
A.7.2B.7.1C.7
9.设等比数列的前n项和为，若，，则，（ ）
A.32B.26C.18D.14
10.已知A、B是球O的球面上两点，，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（ ）
A.B.C.D.
11.已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.2
12.设点，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知命题p：，，则是_______.
14.已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_______.
15.已知抛物线：，圆：，点，若A，B分别是，上的动点，则最小值为_______.
16.规定：，设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，，点D在边BC上，且.
（1）求证：D是线段BC的中点；
（2）若，求点到平面的距离.
18.（本小题12分）
设，.
（1）若x，y均为锐角且，求z的取值范围；
（2）若且，求的值.
19.（本小题12分）
设椭圆C：（）的左焦点，长轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆C交于P，Q和E，F，若，直线的斜率大于0，求直线的方程.
20.（本小题12分）
BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）；
（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.
【参考公式】
，，，.
【参考数据】
，，，，，，.
21.（本小题12分）
已知函数，.
（1）当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数m与t的值；
（2）若函数有两个极值点，（），且，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.（本小题10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为（，）.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率.
23.（本小题10分）
已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）.餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
-1.5
-0.5
-2.3
树德中学高2021级高考适应性考试数学（文科）试题答案
1.【答案】C
由，解得，则，
又，且，则，故实数的取值范围为.
2.【答案】B
由题知，，可得，则.故选：B.
3.【答案】A
当时，直线的斜率是，直线的斜率是1，
满足：，即.而由，可得，解得
“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选：A.
4.【答案】C
的夹角为，且，，，则.故选：C.
5.【答案】B
解：由，可得：，解得，，则.故选：B.
6.【答案】C
，，从集合M，N中各任取一个数x，y，基本事件总数，为整数包含的基本事件有，共4个，
为整数的概率为.故选C.
7.【答案】C
作出不等式组对应的对应的平面区域如图：（阴影部分）.
则由，可知，
则目标函数在处达到最大为3.故选C.
8.【答案】A
根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是：，
故选A.
9.【答案】B
因为为等比数列，为前项和，，
所以，，，成等比数列，
则，所以，.故选B.
10.【答案】A
取线段AB的中点，连接、、、，如图所示：
由球的几何性质可知平面，平面，
因为，，则是边长为2的等边三角形，
因为为AB的中点，则，且，
同理可知，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，同理，
因为平面，所以，所以四边形为正方形，故，
所以球的半径为，因此，球的表面积为.故选：A.
11.【答案】B
因为，，并且，所以，
而，所以，于是，
当且仅当时，取得最大值.故选B.
12.【答案】D
，、B、三点共线，
设，由双曲线定义得，，
所以，，，
即，解得或，
由，则，得，所以，
，解得.故选D.
13.【答案】，.
14.【答案】
令，则，
因为当时，，即
所以当时，单调递减，
不等式成立时，，则，
所以，解得，，
综上，不等式的解集为.
15.【答案】4
抛物线的焦点，准线为，点到准线的距离为，
.
16.【答案】
解：函数，
当时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
则有或，
解得，当时，有解；
或，当时，有解.
实数的取值范围是.
17.（1）证明：三棱柱是直三棱柱，面，得，
又，，
面，则，
又，为的中点；
（2）解：作，则面，
在中，由，得，
由等体积法有：，
设点到平面的距离为，
即，得.
18.（1）由可知，，，
所以
而，函数在上单调递减，则，
的取值范围是.
（2），且，
则：，
整理得：，则：，
整理得：，
所以：.
19.（1），，所以.
则椭圆的方程为.
（2）当在轴上时，的坐标为，此时椭圆的方程为.
①当直线与直线中有一条直线斜率为0时，，
②
当直线与直线的斜率均不为0时，设，
由，可知，，
设，，
则，，
用换，可知，，
则，
则，因为，所以，直线的方程为：.
20.（1）完善残差表如下：
，
，
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91；
（2）由（1）可知，第八组数据的体重应为58，
此时，又，，，，.
重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为.
21.解：当时，，，
令，得，
又，所以切点在直线上，则，
因为，所以，令，则，
在直线中，令，得，
点在曲线上，所以.
（2）函数，，
因为函数有两个极值点，所以有两个不等正根，
则.
由
，
得，
令，
所以在区间上单调递增，
又，
所以时，，
又，所以的取值范围是.
22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
转换为普通方程为，
（2）根据，得把转换为极坐标方程为；
由于，故，
所以，，故；所以，；
故；故直线的斜率.
23.证明：（1）因为，，则，
，当且仅当时取等号.
（2）a，b，c都是正数，，
故成立，当且仅当取等号.编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
3.5