江苏省南京市河西外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份江苏省南京市河西外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了已知α∈，下列式子等于的是等内容，欢迎下载使用。
A．-B．C．D．-
2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
3．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
4．已知α∈（0，），β∈（﹣，0），sinβ＝﹣，且cs（α﹣β）＝，则α的值（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
6．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，＝x+y，x＞0，y＞0，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．3
8．已知A是函数的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题,共18分）
9．下列式子等于的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知△ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则△EAC的面积是△ABC面积的
C．若AB＝AC＝2，BC＝3，则
D．若AB＝AC＝2，BC＝3，则当取得最小值时，
11．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC的外接圆半径为
B．若acsB﹣bcsA＝c，则△ABC一定为直角三角形
C．若a：b：c＝4：5：6，△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，则△ABC一定是等边三角形
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12.求值：．
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是 ．
14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若（λ，μ∈R），则λ+μ的值为 ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为 ．
四．解答题（共5小题.共77分）
15．（13分）已知，
（1）若，求；
（2）若向量在向量上的投影向量为，求与的夹角θ；
（3）在（2）的条件下，若，求m的值．
16．（15分）已知向量，函数．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，，求边AC的长．
17．（15分）已知函数．
（1）化简f（x）的解析式；
（2）若＜β＜π＜α＜，且f（α+β）＝﹣，f（﹣2β）＝，求α﹣β．
18．（17分）已知，在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝csB．
（1）求A﹣B的大小；
（2）若a＝1，求的最小值；
（3）若，求A，B的大小．
19．（17分）已知向量，函数的最小值为g（m）．
（1）求g（m）；
（2）函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2都满足h（x1+x2）＝h（x1）+h（x2），问：是否存在这样的实数m，使不等式对所有恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
2023-2024学年南京河西外国语学校高一下3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．1．sin 160°cs10°+cs 20°sin 10°的值等于（ ）
A．-B．C．D．-
【解答】解：sin 20°sin 50°+cs 20°sin 40°＝sin 20°cs40°+cs 20°sin 40°＝sin（20°+40°）＝sin60°＝，
故选：B．
2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
【解答】解：如图，
，，则，
设最小的小正方形网格长度为1，则，，
所以，
所以三角形OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，
向量与的夹角为∠OBA的补角135°．
故选：D．
3．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，
∴由正弦定理，得到：＝，解得sinB＝．
∵0°＜B＜180°，
∴B＝60°或B＝120°．
故选：B．
4．已知α∈（0，），β∈（﹣，0），sinβ＝﹣，且cs（α﹣β）＝，则α的值（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为α∈（0，），β∈（﹣，0），sinβ＝﹣，且cs（α﹣β）＝，
所以α﹣β∈（0，π），
故csβ＝＝，sin（α﹣β）＝＝；
∴sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）csβ+cs（α﹣β）sinβ＝；
故α＝；
故选：B．
5．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【解答】解：a＝cs10°﹣sin10°＝sin30°cs10°﹣cs30°sin10°＝sin（30°﹣10°）＝sin20°，
＝sin26°，
＝＝sin25°，
∵y＝sinx在（0°，90°）上为增函数，
∴a＜c＜b．
故选：C．
6．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由知O为BC中点，
又O为△ABC外接圆圆心，∴，
∴AB⊥AC，
∵，∴，
∴，
∴在向量上的投影为：，
∴向量在向量上的投影向量为：，
故选：D．
7．在△ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，＝x+y，x＞0，y＞0，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．3
【解答】解：由题意可知＝x+y＝x，
∵P，B，C三点共线，
∴x+＝1，x＞0，y＞0，
∴＝（）（x+）＝≥，
当且仅当时取到等号．
故选：C．
8．已知A是函数的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为
＝sin（2023x+）+sin（2023x+﹣）＝sin（2023x+）﹣cs（2023x+）
＝2[sin（2023x+）﹣cs（2023x+）]＝2sin（2023x+﹣）＝2sin（2023x+），
所以A＝2，函数的最小正周期T＝，
因为存在实数x1、x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
所以|x1﹣x2|的最小值为＝×＝，
故A|x1﹣x2|的最小值为．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列式子等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因为cs（x﹣）＝csxcs＝＝，故C正确，
根据余弦的倍角公式可得cs（x﹣）＝2cs＝2cs，故D正确，
故选：CD．
（多选）10．已知△ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则△EAC的面积是△ABC面积的
C．若AB＝AC＝2，BC＝3，则
D．若AB＝AC＝2，BC＝3，则当取得最小值时，
【解答】解：设AB的中点为D，则＝2，由重心性质得，
则+＝﹣2＝﹣，故A错误；
由＝，得3＝2，则＝2﹣2，
∴，∴E为边BC上靠近点B的三等分点，
则△EAC的面积是△ABC面积的，故B正确；
在△ABC中，由余弦定理得csA＝＝﹣，
则＝＝（）＝＝，故C正确；
由余弦定理得cs∠ABC＝＝，
∴＝＝＝
＝＝（||﹣）2﹣，
则当||＝时，取得最小值为﹣，
此时||＝＝＝＝，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC的外接圆半径为
B．若acsB﹣bcsA＝c，则△ABC一定为直角三角形
C．若a：b：c＝4：5：6，△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，则△ABC一定是等边三角形
【解答】解：对于A：由于a＝4，b＝5，c＝6，
所以∠A最小，∠C最大，
所以＞0，故sinA＝，设△ABC的外接圆半径为R，
所以，解得R＝，故A错误；
对于B：由于acsB﹣bcsA＝c，利用正弦定理：sinAcsB﹣csAsinB＝sinC＝sin（A﹣B）＝sinC，故A﹣B＝C，所以A＝B+C，
由于A+B+C＝π，故A＝，所以△ABC为直角三角形，故B正确；
对于C：利用A的方法：A是最小角，C是最大角，
csC＝，，所以△ABC的最大内角不是最小内角的2倍，故C错误；
对于D：由于：﹣1≤cs（A﹣B）≤1，﹣1≤cs（B﹣C）≤1，﹣1≤cs（C﹣A）≤1，且cs（A﹣B）cs（B﹣C）cs（C﹣A）＝1，
故cs（A﹣B）＝cs（B﹣C）＝cs（C﹣A）＝1，
故A＝B＝C，故D正确；
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12.求值：．
【解答】
解：＝
＝＝＝．
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是 ．
【解答】解：∵a＝2，csA＝，sinB＝2sinC，可得：b＝2c．sinA＝＝，
∴由a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得：8＝4c2+c2﹣3c2，解得c＝2，b＝4．
∴S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝．
故答案为：．
14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若（λ，μ∈R），则λ+μ的值为 ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为 ．
【解答】解：对第一空，建系如图，设正八面体的中心O到顶点的距离为1，
则A（0，﹣1），E（0，1），C（1，0），F（cs，sin），即F（，），
∴，，，
又，
∴（0，2）＝λ（1，1）+μ（，+1），
∴，解得，
∴λ+μ＝＝；
对第二空，如图，分别延长GH与BA交于点I，
则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：
的最小值为﹣|AB|×|AI|，
又|AB|＝|AH|＝2，三角形HIA为等腰直角三角形，
∴|AI|＝，
∴的最小值为﹣|AB|×|AI|＝．
故答案为：；．
四．解答题（共6小题）
15．已知，
（1）若，求；
（2）若向量在向量上的投影向量为，求与的夹角θ；
（3）在（2）的条件下，若，求m的值．
【解答】解：（1）∵，∴与的夹角为0或π．
当与的夹角为0时，；
与的夹角为π时，．
∴．
（2）由题意知，，
∴，由于θ∈[0，π]，∴．
（3）∵，∴
∴，即：
∴，
∴m＝﹣2．
16．已知向量，函数．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，，求边AC的长．
【解答】解：（1）由题意，得
＝＝，
所以f（x）的最小正周期，
令，
解得，
所以f（x）的单调递减区间为．
（2）由（1）知，，
则，由A∈（0，π），得，
所以，解得，
由，得，又，
所以由正弦定理，
得．
17．已知函数．
（1）化简f（x）的解析式；
（2）若＜β＜π＜α＜，且f（α+β）＝﹣，f（﹣2β）＝，求α﹣β．
【解答】解：（1）；
（2）由于f（α+β）＝﹣，
故，
所以，
由于＜β＜π＜α＜，
故，，，
所以，，
故，，
故sin（α﹣β）＝sin[（α+β）﹣2β]＝sin（α+β）cs2β﹣cs（α+β）sin2β＝，
所以．
18．已知，在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝csB．
（1）求A﹣B的大小；
（2）若a＝1，求的最小值；
（3）若，求A，B的大小．
【解答】解：（1）因为sinA＝csB，
所以cs（﹣A）＝csB，
所以﹣A＝2kπ+B或﹣A＝2kπ﹣B，k∈Z，
因为0＜A，B，A+B＜π，﹣π＜A﹣B＜π，
所以A+B＝或A﹣B＝，
由△ABC为斜三角形知，A+B＝（舍），
所以A﹣B＝；
（2）由正弦定理：＝，
所以b＝tanB，
同理，c＝，
所以•＝bccsA
＝tanB••cs（B+）
＝﹣
＝﹣
＝
＝2cs2B+﹣3≥2﹣3（当且仅当cs2B＝时，等号成立），
所以•的最小值为2﹣3；
（3）因为sinA＝tanC，
所以sinA＝﹣tan（A+B）＝﹣tan（2A﹣）＝，
所以2sinAsin2A＝3cs2A，
所以4sin2AcsA＝3（2cs2A﹣1），
即4（1﹣cs2A）csA＝3（2cs2A﹣1），
整理得4cs3A+6cs2A﹣4csA﹣3＝0，
所以（csA+）（2cs2A+2csA﹣3）＝0，
所以csA＝﹣或csA＝，
因为A是钝角，
所以csA＝﹣，
所以A＝，
所以B＝．
19．已知向量，函数的最小值为g（m）．
（1）求g（m）；
（2）函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2都满足h（x1+x2）＝h（x1）+h（x2），问：是否存在这样的实数m，使不等式对所有恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），
设，则，
f（θ）＝Q（t）＝﹣t2﹣（2+m）t+1，，其对称轴为，
当，即m≤﹣2时，；
当，即m＞﹣2时，；
综上，；
（2）假设存在符合条件的实数m，
则依题意有，
对所有恒成立．
设，则，
∴，恒成立
即，恒成立，
∵，
∴t+2＞0
∴，恒成立
令
由在上单调递增
则
∴
所以存在符合条件的实数m，并且m的取值范围为．