专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质-备战2024年高考数学考试易错题(新高考专用)
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这是一份专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质-备战2024年高考数学考试易错题(新高考专用),共28页。试卷主要包含了知识速览,考点速览,求椭圆离心率及其范围的方法,解决椭圆中点弦问题的两种方法,双曲线定义的应用,求双曲线的离心率或其范围的方法,抛物线定义的应用,抛物线的标准方程的求法等内容,欢迎下载使用。
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;
②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;
③当2a0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0,c>0.
①当2a|F1F2|时,M点不存在.
2、双曲线的标准方程和几何性质
3、双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为eq \f(2b2,a),异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则,其中θ为∠F1PF2.
(6)等轴双曲线
①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
②性质:a=b;e=eq \r(2);渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
(7)共轭双曲线
①定义:若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.
②性质:它们有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义:满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:
(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;(3)定点不在定直线上.
2、抛物线的标准方程与几何性质
3、抛物线中的几何常用结论
(1)设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦.
①以弦AB为直径的圆与准线相切.
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
③通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(2)过x2=2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(p,2))).
一、椭圆定义应用的类型及方法
1、求方程:通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程;
2、焦点三角形问题:利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧;
3、求最值:抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;
利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值
【典例1】(2022高三·全国·专题练习)已知的周长为20,且顶点,则顶点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20,顶点,
∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,
∵12>8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,
∴点A的轨迹是椭圆,
∵a=6,c=4,∴b2=20,
∴椭圆的方程是故选:B.
【典例2】(23·24高三上·云南·阶段练习)已知点为椭圆上的一个动点,点分别为椭圆的左、右焦点,当的面积为1时,( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知,所以,
由余弦定理可得:,
所以,
整理得,即,
又的面积为1,所以,
所以,所以,
即,
所以,
又,所以,所以.故选:D.
【典例3】(22·23高三·云南·阶段练习)已知,P是椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.9 B.16 C.25 D.50
【答案】C
【解析】由题意,当且仅当时等号成立,
所以,即,故最大值为.故选:C
【典例4】(23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习)(多选)已知点为椭圆C:的左焦点,点P为C上的任意一点,点的坐标为,则下列正确的是( )
A.的最小值为 B.的最大值为7
C.的最小值为 D.的最大值为1
【答案】ABD
【解析】依题意,,所以,
的最小值,即是的长,当点在位置时取到,
所以的最小值为,故A正确;
设椭圆的右焦点为,所以,
则当点在位置时取到最大值,所以的最大值为,故B正确;
的最小值当在位置时取到,
即的最小值为,故C错误;
由,则当点在位置时取到最大值,
所以的最大值为,故D正确.故选:ABD
二、求椭圆标准方程的2种常用方法
1、根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程;
2、待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)
【典例1】(2023高三·全国·专题练习)若椭圆的对称中心在原点,焦点在坐标轴上,且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为 .
【答案】或
【解析】由于直线与坐标轴的交点为与.
①当焦点为,顶点为时,
此时椭圆焦点在x轴上,且,,所以
所以椭圆的标准方程为.
②当焦点为,顶点为时,
此时椭圆焦点在y轴上,且,,所以
所以椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
故答案为:或.
【典例2】(22·23高三·全国·专题练习)经过椭圆M:的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2,且短轴长是焦距的2倍,则椭圆M的方程为 .
【答案】
【解析】因为经过椭圆M:的左焦点和上顶点的直线记为l,
所以直线l的方程可设为,
因为圆M的中心到直线l的距离等于2,所以,
因为短轴长是焦距的2倍,所以,
因此有,
所以椭圆M的方程为.
【典例3】(23·24高三上·广东揭阳·期末)已知椭圆E:(),F是E的左焦点,过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为,的面积为,则E的标准方程为 .
【答案】
【解析】设O为坐标原点,直线AB交x轴于点C,如图所示:
由题意知:,直线AB的斜率为,即,
所以,.
由椭圆的性质知:,,则,所以,,
则,故直线AB的方程为.
联立,解得:或,
所以,故,
则,解得:.
又,所以,即,则E的标准方程为.
三、求椭圆离心率及其范围的方法
1、求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.
(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.
(3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
2、求椭圆离心率范围的2种方法
(1)几何法:利用椭圆的几何性质,设P(x0,y0)为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系,适用于题设条件有明显的几何关系;
(2)直接法:根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式,适用于题设条件直接有不等关系。
【典例1】(23·24高三上·江苏泰州·期中),为椭圆的左右两个焦点,椭圆的焦距为,,若线段的中点在椭圆上,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,
因为在椭圆上,所以,
又因为
所以,
所以.故选:D.
【典例2】(23·24高三上·山东济南·开学考试)已知椭圆:的上顶点为,两个焦点为,,线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】如图,设的垂直平分线与交于点,
由题,,,,则,
,,
,,化简得,,
由,解得,,即.
故答案为:.
【典例3】(2023高三·全国·专题练习)已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为椭圆上存在点P,使,
所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点,
如图,,所以,
又因为,所以,即,则,
又因为,所以,
所以椭圆的离心率e的取值范围为.
【典例4】(2023高三·全国·专题练习)设椭圆C:的右焦点为F,椭圆C上的两点关于原点对称,且满足,,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,设椭圆的左焦点为,连接,,
由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形,又,即FA⊥FB,
所以四边形为矩形,所以,
设,,
在中,,,,可得,
所以,令,得.
又,得,
所以,所以,
结合,所以,所以,所以,
即椭圆C的离心率的取值范围为,故选:B.
四、解决椭圆中点弦问题的两种方法:
1、根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;
2、点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、,其中中点为,则有。
证明:设、,则有,
上式减下式得,∴,
∴,∴。
特殊的:直线(存在斜率)过椭圆()上两点、,线段中点为,则有。
【典例1】(23·24高三上·贵州黔东南·阶段练习)已知椭圆以及椭圆内一点,则以为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B. C.-4 D.4
【答案】A
【解析】设弦与椭圆交于,,斜率为,
则,,相减得到,
即,解得.故选:A.
【典例2】(22·23高三上·四川广安·期中)已知椭圆:的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意设,
代入椭圆方程可得;
两式相减可得,整理可得;
又因为的中点坐标为,可得;
因此过两点的直线斜率为,
又和的中点在直线上,所以,
即,可得;
又易知,且,计算可得;
所以椭圆的方程为,
代入的中点坐标为,得,
则其在椭圆内部,则此时直线与椭圆相交两点.故选:A
五、双曲线定义的应用
1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
2、在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.
【注意】在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.
【典例1】(2023高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中,一动圆与轴切于点,分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上),则点的轨迹方程为( )
A. B.
C.或 D.
【答案】A
【解析】设分别与圆相切于点,则,,,
所以,且,
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点),
这里,,,则,
故点的轨迹方程为.故选:A
【典例2】(2023高三·全国·模拟预测)如图,已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点,且的延长线交轴于点,且,的内切圆半径为4,的面积为9,则( )
A.18 B.32 C.50 D.14
【答案】C
【解析】因为,所以,所以为直角三角形,
所以,因为,
所以.
因为的面积为9,所以,
因为,
所以,所以.
易知,所以,
所以.故选:C.
【典例3】(2023高三·天津南开·一模)已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的一动点,则的最小值为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】D
【解析】拋物线的准线为,
则点到准线的距离为,所以,
则,故,
设是双曲线的右焦点,
则,则,
故,
当且仅当三点共线时取等号,
所以的最小值为.故选:D.
六、待定系数法求双曲线方程的五种类型
1、与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0);
2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y=eq \f(b,a)x或y=-eq \f(b,a)x,则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0);
3、与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2-k)-eq \f(y2,b2+k)=1(-b2<k<a2);
4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)-eq \f(y2,n)=1(mn>0)或者eq \f(x2,m)+eq \f(y2,n)=1(mn<0);
5、与椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2-λ)-eq \f(y2,λ-b2)=1(b2<λ<a2)
【典例1】(24·25高三上·浙江·开学考试)已知等轴双曲线经过点,则的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为(),
代入点,得,
故所求双曲线的方程为,
其标准方程为.故选:A.
【典例2】(22·23高三上·湖南长沙·阶段练习)在双曲线中,虚轴长为6,且双曲线与椭圆有公共焦点,则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的标准方程为;
易得椭圆焦点坐标为,
又因为双曲线与椭圆有公共焦点,所以双曲线的焦点在轴上,且,
由双曲线虚轴长为6可知,所以;
所以,双曲线的标准方程为.故选:B.
【典例3】(2023高三·海南·模拟预测)已知双曲线为坐标原点,为双曲线的两个焦点,点为双曲线上一点,若,则双曲线的方程可以为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点,为双曲线的上焦点,
如图所示,过点作于点.
因为,所以,
因为,
所以,所以,
故,得.
因为,所以,故点,
将代入双曲线中,
即,化简得,
,
解得或(舍去),故B项正确.故选:B.
七、求双曲线的离心率或其范围的方法
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a,b,c的值,由eq \f(c2,a2)=eq \f(a2+b2,a2)=1+eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解,注意e的取值范围.
(3)因为离心率是比值,所以可以利用特殊值法.例如,令a=1,求出相应c的值,进而求出离心率,能有效简化计算.
(4)通过特殊位置求出离心率.
2、双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系:
当k>0时,k=eq \f(b,a)=eq \f(\r(c2-a2),a)= eq \r(\f(c2,a2)-1)=eq \r(e2-1);当k0)和y2=2px(p>0)两种情况求解.
另一种是设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若mb>0)
eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
离心率
e=eq \f(c,a),且e∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
标准方程
eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)
eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±eq \f(b,a)x
y=±eq \f(a,b)x
离心率
e=eq \f(c,a),e∈(1,+∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(p,2),0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(p,2)))
离心率
e=1
准线方程
x=-eq \f(p,2)
x=eq \f(p,2)
y=-eq \f(p,2)
y=eq \f(p,2)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半径
(其中P(x0,y0))
|PF|=x0+eq \f(p,2)
|PF|=-x0+eq \f(p,2)
|PF|=y0+eq \f(p,2)
|PF|=-y0+eq \f(p,2)
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