专题10 直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，之间的距离为
【详解】由，令，可得，所以过定点，A对
时，，而，即，B对
时，，而，显然不垂直，C错
，则，可得，由上知，之间的距离为
D对.故选：ABD
变式1．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】，
所以曲线在点处的切线方程为，即
设直线（），依题意得，解得或
所以直线的方程为或故选：AB
变式2．已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．若经过圆心C，则
B．直线与圆C相离
C．若，且它们之间的距离为，则
D．若，与圆C相交于M，N，则
【详解】对于A，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确,对于B，因为直线恒过点，且
即点在圆C内，所以与圆C相交，B错误,对于C，因为，则
故与之间的距离，所以，C正确
对于D，时，直线：，即
因为圆心到直线的距离,所以，D错误,故选：AC
变式3．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【详解】依题意，直线，由解得：,
因此直线恒过定点，A不正确
当时，直线，而直线，显然
，即直线不垂直，B不正确
当时，直线，而直线，显然，即
，C正确
当时，有，解得，即直线,因此直线之间的距离，D正确故选：CD
1．若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
2．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值.
【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，
∴正方形的边长等于直线、的距离，则，
若圆的半径为r，，即，则，
由正方形的性质知：，
∴，即有.
故选：B.
3．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.
【详解】由直线与直线平行，
得，解得，
所以两直线分别为和，即和，
所以两直线间距离，
故选：D.
4．两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由已知两条直线平行，得，所以，
所以直线可化为，
则两平行线间的距离.
故选：C
5．已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】易得互相平行，故圆的直径为间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆的直径最大值，进而得到面积最大值
【详解】由题，互相平行，且，故圆的直径为间的距离，令，则，，故当，即时取得最大值，此时圆的面积为
故选：A
6．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
7．已知直线：（），：，若，则与间的距离为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.
【详解】由得，解得，
所以直线：，即，
所以与间的距离为，
故选B．
8．已知直线，，若，则之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，解得，时舍去，可得，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【详解】由于两条直线平行，得，解得，
当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.
当时，，，
故两平行直线的距离为.
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=
A．0B．1C．-2D．-1
【答案】C
【分析】根据直线平行得到，根据两直线的距离公式得到，得到答案.
【详解】由，得，解得，即直线，
两直线之间的距离为，解得 (舍去)，
所以
故答案选C.
【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.
10．已知直线 ，则两条直线之间的距离为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.
【详解】因为，则，故选C.
【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程的系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解，属于基础题.
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
形如：第一种情况
第二种情况：
截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
例．已知直线过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线的一般方程；
（2）若直线在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到；当截距不为0时设直线方程为，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得，，
由不等式得到结果.
⑴ ①即
②截距不为0时，设直线方程为，代入，计算得，则直线方程为，综上，直线方程为
⑵由题意得
变式1．已知直线过点且在轴上的截距相等
(1)求直线的一般方程；
(2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
【详解】（1）因为直线过点且在轴上的截距相等，当截距为0时，则
当截距不为0时，可设，则，即，∴
综上，的一般方程：或
（2）由题意得，
，当且仅当时，等号成立
的最小值为
变式2．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0.
(1)若，且过点，求a，b；
(2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离.
【详解】（1）当过点时，，所以，
因为，所以，即，于是
（2）由：，令，则，令，则
因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故，又，所以，所以
则：与：之间的距离，所以与之间的距离为.
变式3．已知直线，直线
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；
(2)若，求直线的方程.
【详解】（1）由题意可知，，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，解得：
（2）若，则且，解得：
此时直线的方程为
1．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解
【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点在圆上，故，即
故直线l的方程为：
令令
当l的横纵截距相等时，
又
解得：
即，即
故选：A
2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线在坐标轴上截距相等得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由题知：，由得；由得，.
因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.
所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0
【答案】D
【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.
【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2
C．过，两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B
【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断
【详解】解：对于A，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以A错误；
对于B，因为，，所以，分别以点，为圆心，2，4为半径作圆，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线的条数是2，所以B正确；
对于C，当且时，过，两点的直线方程为，所以C错误；
对于D，当截距为零时，设直线方程为，则，所以直线为，当截距不为零时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，综上，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误
故选：B
5．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【详解】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．
则3+4=a，得a=7．
∴直线方程为x+y﹣7=0．
∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．
故选：D
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及的真假进行判断.
【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确；
对于B，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
对于C，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；
对于D，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故D正确.
故选：C.
7．与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
【答案】A
【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，根据圆心到直线的距离等于半径可得有两解，综合可得结果.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；
当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，
圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条，
综上可得：满足条件的直线有两条，
故选：A.
【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.
8．已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
【答案】AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；
对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确；
对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．
9．已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，在x轴上的截距相等则
D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍
【答案】AB
【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确性.
【详解】若，则，得，选项A正确；
若，则，得，选项B正确；
若，在x轴上的截距相等，则，解得，选项C错误；
当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D错误．
故选：AB
【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.
10．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，利用圆心到直线的距离为半径，即得解
【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或
由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径

或
故直线的方程为：
故选：ACD
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）
技巧总结
第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法
正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式求出切线方程
注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为
秒杀方法：
①经过圆上一点的切线方程为
②经过圆上一点的切线方程为
③经过圆上一点的切线方程为
第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.
第三类：求斜率为且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出.
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
工具：点与圆的位置关系判断
圆的标准方程为
一般方程为.
①点在圆上：
②点在圆外：
③点在圆内：
易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理
例、圆的方程为，过点的切线方程
解：正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式求出切线方程
秒杀方法：
经过圆上一点的切线方程为
变形1、圆的方程为，过点的切线方程
解：正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
圆的一般式转化为标准形式为
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式求出切线方程
秒杀方法：
经过圆上一点的切线方程为
变形2、圆的方程为，过点的切线方程
解：由题意的点在圆外
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出
圆心为则
故：，
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
故：，
变形3、圆的方程为，切线斜率为方程为
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出.
故
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
故
方法三：秒杀方法
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
故
1．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.
【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，
又因为，所以，
所以，
又圆心到直线的距离为，
所以，所以不妨设，
则，
又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，
有最大值.
故选：A.
2．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为，
设倾斜角为，则，
由于，故，
故选：D
3．已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆C的圆心为，半径，则，
直线PQ与圆C相切，有，
因为点Q在直线l上，所以，则．
即的最小值是.
故选：A
4．已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
5．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
C．当时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C的交点
【答案】BCD
【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.
【详解】，圆心且半径为，
因为直线过定点，且点在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即，故A不正确；
当直线l经过圆心时，取最大值即圆的直径，故B正确；
当时，直线，因为圆心C到直线l的距离，所以，
所以圆C上有4个点到直线的距离为，故C正确；
当时，直线，曲线，
即一定过直线与圆的交点，故D正确．
故选：BCD．
6．过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆相切
【答案】BCD
【分析】根据圆的切线的性质，建立直角三角形，结合勾股定理以及锐角三角函数，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：

设圆与圆的圆心为，则，，
因为与圆相切，所以，
在中，，易知，所以.
又，所以，故A错误，B、C正确.
故与交于点，由与圆相切，则，
由，则，易知，
在中，，
又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D正确.
故选：BCD.
7．已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在切点使得为直角B．直线过定点
C．的取值范围是D．面积的取值范围是
【答案】BD
【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D.
【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径，
显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误；
同理C选项的数量积也取不到，所以C错误；
对于B,设，

因为，，，
则的方程为：，因为
化简可得：，
同理的方程为：，
而在切线，上，所以
，，
因为在直线
故直线的方程为，令，，
即过定点，故B正确；
对于D，圆心到直线的距离平方为，
线段一半的平方为：，
点到直线的距离的平方为：，
所以面积的平方为：
①，因为，
所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值，
所以面积平方的最大值，
故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
8．已知直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆均不经过点
B．若圆关于直线对称，则
C．若直线与圆相交于、，且，则
D．不存在圆与轴、轴均相切
【答案】ABD
【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解.
【详解】A：将代入，则，
所以，此时，
所以不存在值，使圆经过点，对；
B：若圆关于直线对称，则在直线上，
所以，则，对；
C：由题意，到直线的距离，
所以，则，可得或，错；
D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对；
故选：ABD
9．已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（ ）
A．
B．直线的方程为
C．圆与共有4条公切线
D．若过点的直线与交于两点，则当面积最大时，.
【答案】ABD
【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求，判断A，
求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦可得直线的方程，判断B，
判断圆与圆的位置关系，判断C，
结合三角形面积公式求的面积的最大值，求，判断D，
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心的坐标为，半径为，所以，
又，所以，
由已知，
所以，A正确，
因为，
所以点四点共圆，且圆心为的中点，
线段的中点坐标为，
所以圆的方程为，即，
因为，所以圆与圆相交，
又圆的方程可化为
所以圆与圆的公共弦方程为，
故直线的方程为，B正确，

圆的圆心的坐标为，半径为，
因为，，
所以圆与圆相交，故两圆只有2条公切线，C错误；
设，则，
的面积，
所以当时，的面积取最大值，最大值为，此时，D正确.
故选：ABD.

10．已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（ ）
A．取得最小值时，B．与圆相切时，
C．当时，D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】A：取得最小值时位于即轴上，根据三角形面积公式可得.
B：直接在直角三角形利用勾股定理可得.
C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.
D：根据正弦定理，将求的最大值转化为求外接圆半径最小，
此时，外接圆与圆相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.
【详解】因，令，得，
故，
，圆心，半径
选项A：

如图，根据圆的性质当位于轴上时，取得最小值，
此时，故A正确；
选项B：

当与圆相切时，
，
故B正确；
选项C：

设，
则，，
当时，，
故，
又，
得，
，，
若，则，
又得，，，
此时，
这与点在圆上矛盾，故C错误；
选项D：

设外接圆圆心为，半径为
由题意可得在中垂线上，可设其坐标为，
则，，
由正弦定理知，所以，
当最小，即外接圆与圆相内切时，的最大值，
此时圆心距等于两圆半径之差，则
，
两边同时平方可得，
，故D正确.
故选：ABD.
易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）
处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题
②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题
③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
形如：若是定圆上的一动点，则求和这两种形式的最值
思路1：几何法
①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值
②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代数法
①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在
例、已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
解：(1)∵的圆心，半径，
设，将看成直线方程，
∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，
解上式得：，∴的最大值为.
(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，
∴，可得，
∴的最大值为，最小值为；
(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
则，
；
变形1、如果实数，满足，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值；
（3）的最大值和最小值．
解：（1）实数，满足，
则设整理得，所以圆心到直线的距离，
整理得，即，
所以的最大值为，最小值为．
（2）设，所以整理直线为，
圆心到直线的距离，
整理得，解得，
所以的最大值为，最小值为．
（3）由于的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方
所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和，
即的平方，故最大值为．
最小距离为的平方，故最小值为．
变形2、已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解：（1）方程表示以点为圆心，为半径的圆，
设，即，
当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
此时，解得.故的最大值为，最小值为.
（2）设，即，
当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
此时，即.
故的最大值为，最小值为.
（3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故，.
变形3、已知实数满足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
解：将方程化为标准方程为，
此方程表示以为圆心，2为半径的圆．
（1）表示圆上的点与定点连线的斜率，
所以令，即．
当直线与已知圆相切时（如图），取得最值，
所以，解得或．
因此的最小值是，最大值为0．
（2），它表示圆上的点与定点的距离．
因为定点到已知圆的圆心距离为，
所以的最大值为，最小值为．
1．可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数变形，设，，，则表示的几何意义为的长，作出辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案.
【详解】，
设，，，
故表示的几何意义为的长，
如图所示，取点关于轴的对称点，连接，
则的长即为的最小值，即最小值为.
故选：B
2．已知实数满足曲线的方程，则下列选项错误的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
【答案】C
【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解
【详解】的方程可化为，
它表示圆心，半径为的圆.
对选项A：表示圆上的点到定点的距离的平方，
故它的最大值为，A正确；
对选项B：表示圆上的点与点的连线的斜率，
由圆心到直线的距离，
可得，B正确；
对选项C：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，
所以其最小值为，故C错误；
对选项D：设过点作曲线的切线，则其斜率存在，
故可设切线方程为，
由，解得，
故切线方程为，故D正确.
故选：C.
3．点到直线的最大距离为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【分析】由题意可得直线恒过定点，题意所求最大距离即为点到定点的距离，结合两点求距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，
直线即，
所以该直线恒过定点，
则点到直线的最大距离即为点到定点的距离，
即.
故选：C.
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得.
【详解】，

则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即，
则可知当三点共线时，取得最小值，
即.
故选：A.
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
又，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
7．已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，根据几何意义即可求解.
【详解】作出图形，如图所示，根据题意可知:点，，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
则，
如图（当点三点共线时取等号）
因为，
所以的最小值为，
故选：.
8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.
【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，
因为，，
，
所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，与交于点，连接，故，，
因为，所以，故，则，
故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，
因为，所以，同理得：，，
，
故的最小值为.
故选：B
9．已知实数满足，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将配方得，由几何意义可知，表示直线上的动点与的距离的平方，根据点到直线的距离公式计算点到直线的距离，即可求解出最小值.
【详解】由可得，
可以看作直线上的动点与的距离的平方，
又因为点与的最小距离为到直线的距离，
为，
故的最小值为.
故选：A.
10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值.
【详解】因为，
记点、、，则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
A、B、C为系数
任何位置的直线