专题10 直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）

这是一份专题10 直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版），共14页。试卷主要包含了已知直线，已知直线，则，两条平行直线与之间的距离，若直线与平行，则与间的距离为，已知直线，，若，则之间的距离为等内容，欢迎下载使用。
易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，之间的距离为
变式1．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．若经过圆心C，则
B．直线与圆C相离
C．若，且它们之间的距离为，则
D．若，与圆C相交于M，N，则
变式3．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
1．若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
2．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．4
3．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
5．已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直线：（），：，若，则与间的距离为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知直线，，若，则之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=
A．0B．1C．-2D．-1
10．已知直线 ，则两条直线之间的距离为
A．B．C．D．
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
形如：第一种情况
第二种情况：
截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
例．已知直线过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线的一般方程；
（2）若直线在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
变式1．已知直线过点且在轴上的截距相等
(1)求直线的一般方程；
(2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
变式2．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0.
(1)若，且过点，求a，b；
(2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离.
变式3．已知直线，直线
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；
(2)若，求直线的方程.
1．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2
C．过，两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
5．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A．B．或
C．D．或
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
7．与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
8．已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
9．已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，在x轴上的截距相等则
D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍
10．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A．B．
C．D．
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）
技巧总结
第一类：求过圆上一点的圆的切线方程的方法
正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
第三步：利用点斜式求出切线方程
注意：若则切线方程为，若不存在时，切线方程为
秒杀方法：
①经过圆上一点的切线方程为
②经过圆上一点的切线方程为
③经过圆上一点的切线方程为
第二类：求过圆外一点的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，即，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.
第三类：求斜率为且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出.
方法二:代数法
第一步：设切线方程为，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由可求得，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
已知圆的切线的斜率为，则圆的切线方程为
工具：点与圆的位置关系判断
圆的标准方程为
一般方程为.
①点在圆上：
②点在圆外：
③点在圆内：
易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理
例、圆的方程为，过点的切线方程
变形1、圆的方程为，过点的切线方程
变形2、圆的方程为，过点的切线方程
变形3、圆的方程为，切线斜率为方程为
1．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．B．C．D．
3．已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
C．当时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C的交点
6．过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆相切
7．已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在切点使得为直角B．直线过定点
C．的取值范围是D．面积的取值范围是
8．已知直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆均不经过点
B．若圆关于直线对称，则
C．若直线与圆相交于、，且，则
D．不存在圆与轴、轴均相切
9．已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（ ）
A．
B．直线的方程为
C．圆与共有4条公切线
D．若过点的直线与交于两点，则当面积最大时，.
10．已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（ ）
A．取得最小值时，B．与圆相切时，
C．当时，D．的最大值为
易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）
处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题
②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题
③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
形如：若是定圆上的一动点，则求和这两种形式的最值
思路1：几何法
①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值
②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代数法
①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在
例、已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
变形1、如果实数，满足，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值；
（3）的最大值和最小值．
变形2、已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
变形3、已知实数满足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
1．可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数满足曲线的方程，则下列选项错误的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
3．点到直线的最大距离为（ ）
A．2B．C．D．1
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
7．已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
9．已知实数满足，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
A、B、C为系数
任何位置的直线