苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数综合训练题

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数综合训练题，共10页。试卷主要包含了根式的概念，根式的性质等内容，欢迎下载使用。

知识点1根式
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.
（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中.
知识点2指数幂
1．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
（1）;（2）;
（3）.
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
重难点1根式的化简与求值
【例1】有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【例2】计算下列各式．
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ .
根式的化简求值注意以下2点：
（1）首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
【变式1-1】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】若，，且，则（ ）
A．，且n为偶数B．，且n为偶数
C．，且n为奇数D．，且n为奇数
【变式1-3】求
重难点2有限制条件的根式化简
【例3】已知，化简二次根式的值是
【例4】当a>0时，等于 ．
有限制条件根式的化简策略：
（1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
（2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
【变式2-1】（多选）若，化简的结果可能（ ）
A．B．.C．D．
【变式2-2】已知，则的值是 ．
【变式2-3】若代数式有意义，则 .
重难点3根式与分数指数幂的互化
【例5】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例6】化简（式中各字母均为正数）：
(1)；
(2)；
(3)．
根式与分数指数幂互化的规律：
（1）根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【变式3-1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（ ）
A．B．
C． D．
【变式3-2】已知，，把下面的数写成底数是10的幂的形式：（如）
(1)；
(2)8；
(3)24；
(4)
【变式3-3】把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
重难点4指数幂的运算
【例7】计算的结果为（ ）
A．B．C．1D．
【例8】计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
【变式4-1】下面各式．计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（ ）
A．B．﹣C．D．
【变式4-3】计算下列各式的值.
(1)
(2)
(3)
(4)；
(5).
(6)计算：；
(7)（，）.
重难点5条件求值问题
【例9】若，，且满足，，则的值为（ ）.
A．1B．2C．D．
【例10】已知，求证:
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法：
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
【变式5-1】若，则的值为 .
【变式5-2】已知，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
【变式5-3】已知，求的值．
1．化简：（ ）
A．1B．C．D．
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，则（ ）
A．5B．6C．8D．9
4．设（），且，则等于（ ）
A．16B．10
C．2D．81
5．若实数x，y满足，则的值可以是（ ）
A．B．1C．D．
6．（多选）若3a·9b＝，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＋b＝－1B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1D．a＋2b＝1
7．（多选）下列各式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．计算 .
9．已知，，则的值为 ．
10．使得等式成立的实数a的值为 ．
11．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
12．（1）计算：；
（2）若，，且，求的值．
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义