高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步练习题，共22页。试卷主要包含了根式的概念，根式的性质等内容，欢迎下载使用。

知识点1根式
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.
（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中.
知识点2指数幂
1．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
（1）;（2）;
（3）.
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
重难点1根式的化简与求值
【例1】有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用公式进行求解.
【详解】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误．
故选：A
【例2】计算下列各式．
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ .
【答案】
【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；
（2）根据根式的运算性质直接求解即可；
（3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可；
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
故答案为：（1）；（2）；（3）
根式的化简求值注意以下2点：
（1）首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
【变式1-1】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.
【详解】 ，即 ， ，
.
故选：A .
【变式1-2】若，，且，则（ ）
A．，且n为偶数B．，且n为偶数
C．，且n为奇数D．，且n为奇数
【答案】B
【分析】利用n次根式的意义及性质直接计算并分类判断作答.
【详解】依题意，，即，而，且，
若n为奇数，则，必有，矛盾，于是得n为偶数，此时，，即，
所以，且n为偶数，B正确，A，C，D都不正确.
故选：B
【变式1-3】求
【答案】
【分析】通过分式通分整理计算即可.
【详解】.
重难点2有限制条件的根式化简
【例3】已知，化简二次根式的值是
【答案】.
【分析】利用根式的性质进行化简.
【详解】由可知，，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
【例4】当a>0时，等于 ．
【答案】
【分析】根据，得到，进而化简求解.
【详解】因为，
所以，
所以＝，
故答案为：
有限制条件根式的化简策略：
（1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
（2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
【变式2-1】（多选）若，化简的结果可能（ ）
A．B．.C．D．
【答案】AC
【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可
【详解】由化简可得，
所以，
所以或，
又，
所以，
当时，，
当时，，
故选：AC.
【变式2-2】已知，则的值是 ．
【答案】0
【分析】化简根式为，结合题设可知，从而判断，即可求得答案.
【详解】由题意可知，
故 ，
由于，故二者中一个为1，另一个为，即，
故，即，
故答案为：0
【变式2-3】若代数式有意义，则 .
【答案】8
【分析】由已知代数式有意义确定的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.
【详解】因为代数式有意义，所以且，故，
所以，
故答案为：8.
重难点3根式与分数指数幂的互化
【例5】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
【例6】化简（式中各字母均为正数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用指数幂运算法则进行运算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）方法一（从里向外化）
．
方法二（从外向里化）
．
根式与分数指数幂互化的规律：
（1）根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【变式3-1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据分数指数幂与根式的互化逐项判断.
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
【变式3-2】已知，，把下面的数写成底数是10的幂的形式：（如）
(1)；
(2)8；
(3)24；
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）根据给定条件，利用指数运算法则求解即可.
【详解】（1）由，，得.
（2）由，得.
（3）由，，得.
（4）由，，得.
【变式3-3】把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】（1），；
（2），；
（3），
重难点4指数幂的运算
【例7】计算的结果为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，原式.
故选：B
【例8】计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)100
(3)3
(4)
【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.
【详解】（1）原式.
（2）原式 .
（3）原式 .
（4）原式.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
【变式4-1】下面各式．计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解.
【详解】根据指数幂的运算法则可知，，，
，，所以ACD错误，B正确.
故选：B
【变式4-2】（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（ ）
A．B．﹣C．D．
【答案】ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
【变式4-3】计算下列各式的值.
(1)
(2)
(3)
(4)；
(5).
(6)计算：；
(7)（，）.
【答案】(1)
(2)2
(3)18
(4)100
(5)4
(6)
(7)
【分析】根据指数幂的运算法则和根式运算法则计算出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
.
（4）
.
（5）
（6）
.
（7）
.
重难点5条件求值问题
【例9】若，，且满足，，则的值为（ ）.
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值.
【详解】由，，得，即，解得，
把代入，得，即，两边平方得，由得，
则.
故选：C
【例10】已知，求证:
【答案】证明见解析
【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证．
【详解】证明：因为，
故，
所以，
所以，
故，
，
故．
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法：
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
【变式5-1】若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，结合立方和公式，即可求解.
【详解】由，可得，即，
又由.
故答案为：.
【变式5-2】已知，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用完全平方公式以及立方和公式，可得答案.
【详解】（1）将两边平方，可得，解得.
（2）将两边平方，可得，解得.
（3）.
【变式5-3】已知，求的值．
【答案】
【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解.
【详解】因为，则，可得，
则，可得，
且，
所以.
1．化简：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】.
故选：A.
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，，
显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
3．已知，，，则（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】根据指数的运算性质即可求解.
【详解】由于，∴，
故选：B.
4．设（），且，则等于（ ）
A．16B．10
C．2D．81
【答案】A
【分析】根据给定条件，用表示出，再求出即可计算作答.
【详解】由，，得，而，则有，解得，
所以.
故选：A
5．若实数x，y满足，则的值可以是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，又，
所以，
设，则，即.
因为，
即，当且仅当，即时等号成立，
解得，，所以的取值范围是
故选：C.
6．（多选）若3a·9b＝，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＋b＝－1B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1D．a＋2b＝1
【答案】ABD
【分析】根据指数幂运算公式计算即可.
【详解】3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，则a＋2b＝－1.
故选：ABD.
7．（多选）下列各式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABC
8．计算 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用根式运算及指数运算法则计算作答.
【详解】.
故答案为：
9．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案.
【详解】由，，可得，
设，则，则，
解得，（舍去），
故，
故答案为：
10．使得等式成立的实数a的值为 ．
【答案】8
【分析】采用换元法（须注意新元的取值范围），将所给等式转化为整式方程并求解.
【详解】解：由题意可得，，所以，故.
设，则.
解得，或（舍），或（舍）
所以
所以
故答案为：8
11．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（2）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（3）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（4）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（5）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（6）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（7）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（8）解：根据指数幂的运算法则，可得.
12．（1）计算：；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据根式的性质计算可得；
（2）依题意可得，从而得到，代入计算可得.
【详解】（1）
.
（2）因为，，，所以，
所以，
由，得，所以．
所以，所以．
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义