专题05 利用函数的奇偶性求函数的解析式（期末大题3）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习

这是一份专题05 利用函数的奇偶性求函数的解析式（期末大题3）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习，共19页。试卷主要包含了针对求解析式及其重要.，已知函数，若是定义在上的偶函数，当时，.，已知是定义在上的偶函数，当时，等内容，欢迎下载使用。

题型 利用函数的奇偶性求函数的解析式
基础：函数奇偶性的定义及图象特点
①偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数且图象关于轴对称.
②奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数且图象关于原点对称.
技巧：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．针对求解析式及其重要.
利用函数的奇偶性求函数的解析式解题步骤如下：
第一步：设出所求区间的自变量,取相反数；
第二步：将代入题干已知的表达式中；
第三步：利用奇偶性求出的表达式.
注意：求函数值时由内到外依次求值
模型1：已知定义域为的偶函数满足：当时，，且．
(1)求的解析式；
(2)用单调性的定义证明：在上单调递增．
破解：（1）由题知，，解得，
第一步：设出所求区间的自变量,取相反数；
设，则，
第二步：将代入题干已知的表达式中；
所以，
第三步：利用奇偶性求出的表达式.
所以
（2）第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
设，
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
则，
因为，所以，，，，
第三步：定符号，得出结论.
所以，，
第四步：得出结论．同号递增，异号递减
所以，在上单调递增.
模型2：已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
破解：（1）因为为奇函数，所以，
第一步：设出所求区间的自变量,取相反数；
当时，，
第二步：将代入题干已知的表达式中；
则，
第三步：利用奇偶性求出的表达式.
由为奇函数，得，
又满足，
所以
（2）第一步：利用基础工具确定函数的单调性
当时，易知为单调递增函数，
则由奇函数的性质可知是定义在上的增函数，
第二步：一定要将目标变形成的形式
又因为，所以，
第三步：依据函数的单调性把符号脱掉，脱掉的原则：若函数单调递增则（不变号），若函数单调递减则（变号）
故有，
第四步：解不等式．
即，解得，所以.
1．已知函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案；
（2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域．
【详解】（1）令，则，
所以，
所以的解析式为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，，
因为当时，，
因为在上单调递增，所以，
当时，，
因为在上单调递增，所以，
当时，，所以的值域为.
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性转化不等式，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，
且当时，，
设，则，
，
又，满足，
则；
（2）当时，
，其在上单调递增，
则由奇函数的性质知函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则，解得，
即a的取值范围是.
3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)．
【分析】（1）借助奇函数的性质即可得；
（2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解；
（3）结合函数单调性与奇偶性即可得.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得．
又当时，，可得；
（2）当时，；
当时，，则，
又，可得时，．
所以；
（3）由的解析式可得奇函数在上单调递增，
所以即为，
化为，解得，
即的取值范围是.
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）设时，则，根据已知解析式和奇偶性可得时的解析式，再由奇函数性质可知，然后可得在上的解析式；
（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.
【详解】（1）设时，则，所以，
因为为奇函数，所以，
又，所以函数在上的解析式为.
（2），且，
则
，
因为，所以，
故，即，
所以函数在上单调递增.
5．设函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递减；证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质求解当时的解析式，从而得解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】（1）因为当时，，
设，则，则，
又是定义在上的奇函数，
所以，
故；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
当时,，
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，，
故，则，
所以函数在上单调递减.
6．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)求在上的解析式.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）求出即得解；
（2）根据奇函数的定义和性质求出的解析式即得解.
【详解】（1）由题得，
所以.
（2）设，则，
则，
因为函数是R上的奇函数，所以，
综上所述.
7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)判断函数在区间上的单调性，并证明.
【答案】(1)(2)(3)在上单调递增；证明见详解
【分析】（1）根据函数解析式及函数是奇函数，先求出，进一步计算即可；
（2）根据函数是奇函数当时，，，求出解析式，根据奇函数的性质知，最后写成分段函数形式；
（3）根据函数性质判断函数的单调性，用单调性定义证明即可.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
且当时，，
故，所以，
则
（2）依题，当时，，
，
又，故.
（3）当时，
，
故函数在上单调递增，证明如下：
任取且，
则
，
因为且，
所以，
故，即
所以函数在上单调递增.
8．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2).
【分析】（1）设，则，得到，再利用函数是定义在上的偶函数求解；
（2）作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以函数在上得解析式为
（2）作出函数的图象，如图所示，

由函数图象可知，在，上单调递减，
要使函数在区间上单调递减，
则需满足，
解得，所以实数的取值范围为.
9．若是定义在上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【分析】（1）设，得到，根据条件，采用代入法即可得到的解析式，从而求出结果；
（2）直接利用定义法即可证明.
【详解】（1）设，则，又当时，，
所以，又是定义在上的偶函数，
所以，故的解析式为.
（2）在区间上单调递增，证明如下，
由（1）知，当时，，
任取，且，
则，
因为，且，所以，得到，即，所以在区间上单调递增.
10．已知是定义在上的偶函数，当时，．
(1)当时，求的解析式；
(2)求的单调递减区间．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）根据偶函数的定义进行求解；
（2）根据二次函数的性质在，时分别求函数的单调区间.
【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，所以．
因为当时，，所以当时，，
．
（2）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
综上，的单调递减区间为．
11．已知函数为奇函数，且当时，
(1)求的值；
(2)求当时，的解析式；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)0(2)(3)
【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解；
（2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可；
（3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
又当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，，有，
又为奇函数，所以，
所以，
即当时，；
（3）由（2）知，当时，，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即当当时，函数的最小值为.
12．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，当时，．
当时，，又为奇函数，
所以，即．
综上，，，
（2）任取，且，
，
因为，且
所以，，且，
所以，即，
所以，函数在区间上单调递减．
13．已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求函数的表达式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性.
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)空集
【分析】（1）根据偶函数的定义进行求解即可；
（2）根据单调性的定义进行求解即可；
（3）利用函数的单调性和奇偶性进行求解即可.
【详解】（1）当时，因为是定义在上的偶函数，
所以，
因此；
（2）函数在区间上单调递减，证明如下：
设是上任意两个实数，且，则有，
于是有，
因为，所以，，
所以，
所以函数在区间上单调递减；
（3）因为偶函数在区间上单调递减，
所以由，
解得，
所以不等式的解集为空集.
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，代值计算即可；
（2）利用奇函数的性质可求出在上的解析式，结合可得出函数的解析式；
（3）分析函数在其定义域上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
则.
（2）解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
则当时，，则，
则，
又因为满足，故.
（3）解：因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
故函数在定义域上为增函数，
由可得，
所以，，解得，所以，实数的取值范围是.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)判断在内的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)(2)在内的单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据奇偶性即可求解上的解析式，进而可得上的解析式；
（2）根据单调性的定义即可求解.
【详解】（1）设，则，，
又是定义在上的奇函数，所以，
又易知，，所以的解析式为.
（2）在内的单调递增，证明如下，
当时，，任取，且，
则
，
因为，，所以，
得到，即，所以，函数在内的单调递增.
16．已知﹐为定义在R上的奇函数，当时，
(1)求函数；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【答案】(1)
(2)函数在R上是偶函数，证明见解析
【分析】（1）由题意可得，从而可求，再利用奇偶性即可求得解析式；
（2）先用定义证明为定义在R上的偶函数，再用定义即可证明函数的奇偶性.
【详解】（1）因为为定义在R上的奇函数，所以，
所以，解得，
所以当时.
当时，则，又为定义在R上的奇函数，
所以，
所以；
（2）函数在R上是偶函数，证明如下：
因为知﹐的定义域都为，所以的定义域为，
因为，所以为定义在R上的偶函数.
因为为定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以函数在R上是偶函数.
17．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据分段函数的奇偶性可得；
（2）根据题意区间为的单调递增区间的子集，进而可得.
【详解】（1）当时，，
则．
因为是奇函数，所以．
因为是定义在R上的奇函数，所以，
则.
（2）当时，，
由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增．
又因为是定义在R上的奇函数，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为在上单调递增，
所以或，解得或，
故a的取值范围是．
18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，有．
(1)求函数在上的解析式，并用定义证明在上的单调性；
(2)解关于x的不等．
【答案】(1)当时，，证明见解析；(2).
【分析】（1）奇偶性结合已知解析式即可求得时的解析式，然后取值、作差、化简定号即可得证；
（2）根据奇偶性和单调性去掉函数符号，然后求解可得.
【详解】（1）函数是R上的偶函数，当时，
当时，，因此，
证明：，，
则，
因为，
所以，则，即，
所以函数在上单调递减．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，
又是R上的偶函数，
所以函数在上单调递增，
故不等式，
整理得，解得或，
所以解集为.
19．已知函数是定义在上的偶函数，当时，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用偶函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可求出的范围．
【详解】（1）设，则，，
由为偶函数有，
故.
（2）当时，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，故.