高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义练习，共16页。试卷主要包含了命题概念，命题的分类，判断一个命题真假的方法等内容，欢迎下载使用。

知识点1命题
1、命题概念:在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。
2、命题的分类:
命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。
（1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等;
（2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可;
（3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。
3、判断一个命题真假的方法:
在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。
二、命题的结构形式
1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。
2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式.
三、公理、定理、定义
1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。
2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。
3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别
重难点1命题的概念
【例1】下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真.
【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；
对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.
如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；
对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；
对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题．
故选：A.
【例2】有下列语句，其中是命题的个数为（ ）．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
（3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（4）不能判断是否正确，所以不是命题；
（5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.
所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．
故选：A
命题的判断方法：
判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。
【变式1-1】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．是空集
B．是无限集
C．是有理数
D．方程的根是自然数
【答案】D
【分析】对各选项逐一判断真假即可.
【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误；
对于B，，即，即，为有限集，故B错误；
对于C，是无理数，故C错误；
对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确.
故选：D
【变式1-2】在下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据命题的定义直接判断即可.
【详解】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.
故选：C.
【变式1-3】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
重难点2命题的改写
【例3】将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 .
【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．
【分析】确定命题的条件和结论，然后改写．
【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为：
若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．
故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．
【例4】将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
【答案】答案见解析
【分析】分析出命题的条件、结论即可求解.
【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数．
（2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根．
（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分.
将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。
改写前后命题的真假不发生变化。
【变式2-1】命题：若，则且，条件p： ，结论q： .
【答案】 且
【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空.
【详解】命题：若，则且，
则条件p：，结论q：且.
故答案为：；且
【变式2-2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）两个无理数的和是无理数；
（4）乘积为正数的两个数同号；
（5）两个奇数的和是偶数；
（6）矩形的四个角相等；
（7）等腰三角形的两个底角相等；
（8）直径所对的圆周角是直角.
【答案】答案见解析.
【分析】首先弄清命题的条件和结论，然后进行改写即可．
【详解】解：（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；
（2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行；
（3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数；
（4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号；
（5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数；
（6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等；
（7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等；
（8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角.
【变式2-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）绝对值相等的数也相等；
（2）矩形的对角线相等；
（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
【答案】答案见解析．
【分析】确定出命题的条件和结论后改写．
【详解】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式：
若两个数的绝对值相等，则它们也相等；
（2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式：
若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等；
（3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：
若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等；
（4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：
若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．
重难点3判断命题的真假
【例5】下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
【例6】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)偶数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，
根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；
（2）若，则，
要想满足，则，解得，是真命题；
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，
两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.
由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题;
由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。
【变式3-1】下列命题中真命题有 .
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
【答案】②③
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
【变式3-2】判断下列命题的真假：
(1)一个实数不是质数就是合数；
(2)若或，则；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若，则
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)真命题
【分析】（1）举反例说明即可；
（2）通过方程的根分析即可；
（3）利用正方形的性质说明即可
（4）利用集合间的运算性质说明即可.
【详解】（1）1既不是质数也不是合数，故该命题为假命题.
（2）当或时，代入中结果为0，故该命题为真命题；
（3）正方形具有矩形和菱形的所有性质，故它既是矩形又是菱形，
故该命题为真命题；
（4）由，故集合为集合的子集即，
故改命题为真命题；
【变式3-3】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若，则，是真命题
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假.
【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，
根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题；
（2）若，则，
要想满足，则，解得，是真命题；
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，
两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.
重难点4已知命题的真假求参数
【例4】已知命题为真命题，则实数的值不能是（ ）
A．1B．0C．3D．
【答案】D
【分析】由题意求出的取值范围，判断选项
【详解】由题意得，，解得
故选：D
【例5】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（ ）
A．4B．2
C．0D．
【答案】ABD
【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可.
【详解】因为方程有实数根，所以，解得或，
故当，，时符合条件.
故选：ABD.
由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：
第一步,明确题设条件的含义；
第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；
第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。
【变式4-1】（多选）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题目条件列不等式计算即可.
【详解】依题意，，
∴，
∴实数的取值范围是，
故选：BC.
【变式4-2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ．
【答案】或
【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可．
【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解；
②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．
综上可得当或时，方程有实数解．
故答案为：或
【变式4-3】若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围．
【答案】且.
【分析】方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果.
【详解】由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且.
一、单选题
1．已知均为正数，且，甲、乙两位同学作出如下判断：
甲说：中至少有一个数小于4；
乙说：若，则a，b，c中至少有一个数不大于1
则关于甲、乙两位同学的判断正确的是（ ）
A．甲错误、乙错误B．甲错误、乙正确
C．甲正确、乙错误D．甲正确、乙正确
【答案】D
【分析】对于甲同学的命题可以从反面考虑，对于乙同学的命题可以考虑其逆否命题是否正确.
【详解】对于甲同学的话，均为正数，假设都不小于4，则，与已知矛盾，即甲正确；
对于乙同学的话，不妨考虑其逆否命题的正确性，假设均大于1，
设，，，即
，则
，
与已知矛盾，即乙正确．
故选：D．
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题
C．命题“当”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
【答案】D
【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．
【详解】A．当时，不成立，A错；
B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是；
C．命题“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有；
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，逆否命题也是真命题．
故选：D．
3．下列命题中假命题的个数是（ ）
（1）有四个实数解
（2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0
（3）若 ，则x≠2
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立.
【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；
在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；
在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确；
故选：C.
4．命题“正方形的四条边都相等”中的条件是
A．正方形B．正方形的四条边C．四条边D．四条边都相等
【答案】A
【分析】将其改为“若，则”的形式后直接判断哪一部分是条件.
【详解】将命题改写成“若，则”的形式，“若四边形为正方形，则它的四条边都相等”，所以正确选项为A.
【点睛】命题一般是由：前提、条件、结论这几个基础部分组合而成的.
5．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；
（2）关于，的方程有正有理数解；
（3）关于，的方程没有正有理数解；
（4）当整数时关于，，的方程有正实数解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；
没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
6．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－3B．a>－3
C．a≤－3D．a