高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题复习练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题复习练习题，共22页。试卷主要包含了命题否定的真假，下列命题的否定是真命题的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

知识点1 全称量词与全称量词命题
知识点2 存在量词与存在量词命题
知识点3 命题的否定
1．命题否定的真假：
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定；
全称量词命题的否定是存在量词命题．
（2）存在量词命题的否定：；
存在量词命题的否定是全称量词命题．
重难点1全称量词命题与存在量词命题
【例1】下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数．
【答案】 ①②③ ④
【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题；
②含有全称量词“所有”，是全称量词命题；
③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题；
④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.
故答案为： ①②③，④
【例2】下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.
【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
【变式1-1】（多选）下列语句是全称量词命题的是（ ）
A．对任意实数x，B．有一个实数a，a不能取对数
C．每一个向量都有方向吗D．等边三角形的三条边相等
【答案】AD
【分析】根据全称量词命题的定义逐个分析判断
【详解】ABD是命题，C不是命题，其中A中含有全称量词，所以是全称量词命题，B是存在量词命题，所以A正确，BC错误，
D中隐藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题，所以D正确，
故选：AD
【变式1-2】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使；
(5)方程有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题．
【变式1-3】指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代：
(1)对区间内的任意整数，有；
(2)对某个有理数，有；
(3)线段上有一点满足比例式．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】根据全称量词与特称量词的定义判断与改写即可；
(1)
解：命题：对区间内的任意整数，有，
命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是．该命题可以写成“，有”．
(2)
解：命题：对某个有理数，有；
命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是有理数集合．该命题可以写成“，有”
(3)
解：命题：线段上有一点满足比例式．
命题中有量词“有一点”，这是一个存在量词，它的作用范围是线段上．该命题可以写成“线段，有”
重难点2判断全称、存在量词命题的真假
【例3】（多选）下列四个命题中假命题是（ ）
A．，B．，
C．，使D．，
【答案】ABD
【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，所以A为假命题；
对于B中，当时，，所以B为假命题；
对于C中，当时，，所以C为真命题；
对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
【例4】判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P．
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示．
(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形．
(4)存在一个实数x，使得方程成立．
(5)，．
(6)，，．
【答案】(1)是真命题
(2)是假命题
(3)是真命题
(4)是假命题
(5)是真命题
(6)是真命题
【分析】(1)根据直角坐标系中的点的特性可判定；(2)(3)举反例即可；(4)利用判别式判断即可；(4) 解方程即可；(5)根据存在量词命题真假判断方法判断即可；(6)根据全称量词命题真假判断方法判断即可.
【详解】（1）是真命题．
（2）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
（3）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
（4）是假命题，方程的根的判别式，故方程无实数根．
（5）是真命题，或都能使成立．
（6）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．
故：①③⑤⑥为真命题，②③为假命题.
（1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
（2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题
【变式2-1】下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使B．，
C．，D．，使
【答案】B
【分析】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.
【详解】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，
对于B，因为时，，所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以C错误，
对于D，由，得，所以D错误，
故选：B
【变式2-2】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出方程的根，即可判断.
【详解】因为，即，解得或或，
所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题，
故符合题意的为D.
故选：D
【变式2-3】（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
【答案】CD
【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假.
【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．
故选：CD.
重难点3根据含量词命题的真假求参数
【例5】“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案.
【详解】，，只需在上的最大值小于等于，
其中，故，解得，
因为，但，
所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；
其他三个选项均不是充分不必要条件.
故选：D
【例6】已知命题成立；命题成立．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题真假，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题为真命题转化为不等式恒成立.
（2）解出“命题假”所对应的实数的取值范围并与（1）中的取值范围作交集.
【详解】（1）因为命题为真命题.
所以在上恒成立，则判别式，
即解得.
所以实数的取值范围为.
（2）由（1）知命题为真命题时，的取值范围为.
当命题为真命题时，不等式有解.
则判别式即解得或.
则命题为假命题时，即.
故命题真假时，满足.
所以实数的取值范围为.
（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
（2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
【变式3-1】“”是真命题，则m的范围是
【答案】
【分析】由题知，由x的取值范围得到1-x的取值范围，进而根据全称命题的意义即可得答案；
【详解】对于命题：对任意，不等式恒成立，
而，有，
∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是.
故答案为:
【变式3-2】命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式3-3】已知命题，为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】为真命题，即方程在范围内有实根，解得答案.
【详解】为真命题，即方程在范围内有实根，
故，故.
故实数a的取值范围为．
重难点4全称量词命题的否定与真假判断
【例7】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
【例8】若命题：，，则的否定为 命题（填“真”或“假”）.
【答案】真
【分析】直接写出其否定为，使得，即可判断其真假.
【详解】由题得命题的否定为，使得，显然此命题为真命题，
故答案为：真.
（1）对全称量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词()改为存在量词()．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
（2）全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
【变式4-1】命题“分数都是有理数”的否定是（ ）
A．所有的分数都是有理数B．所有的分数都不是有理数
C．存在一个分数不是有理数D．存在一个分数是有理数
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题“分数都是有理数”的否定是“存在一个分数不是有理数”.
故选：C
【变式4-2】（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据全称命题的否定，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意，命题，有成立，由命题为假命题，则命题为真命题，
所以或，由，，，.
故选：ABC.
【变式4-3】已知命题，，则是 命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】根据全称命题与特称命题的关系，得，即可判断命题真假.
【详解】解：命题，，
则，，则，使得成立
所以是真命题，
故答案为：真.
重难点5存在量词命题的否定与真假判断
【例9】已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
【例10】已知命题，使，命题．
(1)写出“”；
(2)若命题p、q有且只有一个命题为真，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题即可求解，
（2）分两种情况：p真q假以及p假q真，列不等关系即可求解.
【详解】（1）；
（2）p是真命题，得，所以．
若p为真命题，q为假命题，则得；
若p为假命题，q为真命题，则，得；
所以，m的取值范围为或．
（1）对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词()改为全称量词()．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
（2）存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
【变式5-1】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】命题“，”的否定是
，，
故选：C
【变式5-2】命题“存在，使”的否定是 命题．(填“真”或“假”)
【答案】假
【分析】根据命题之间的关系可知，原命题是真命题，故其否定为假命题.
【详解】命题“存在，使”是真命题，如；
所以其否定是假命题．
故答案为：假
【变式5-3】命题，是 （填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它的否定为 ．
【答案】 存在量词命题 ，
【分析】利用存在存在量词命题和否定的定义即可求解.
【详解】命题p含有存在量词，是存在量词命题．否定为，．
故答案为：存在量词命题；，．
重难点6根据命题的否定求参数
【例11】某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？ (填“是”“否”中的一种)
【答案】是
【分析】根据全称命题与存在命题的关系以及命题的否定之间的逻辑关系加以判断即可求解.
【详解】因为命题“”的否定是“”，
而命题“”是假命题，与其否定“”为真命题等价，
所以两位同学题中范围是一致的，
故答案为：是
【例12】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
命题，都有， 为真命题，则，即
命题，使，为真命题，则，即
因为命题、同时为真命题，所以，解得，
故实数m的取值范围是．
已知命题为假命题求参数的值或取值范围时,通常转化为是真命题后,再求参数的值或取值范围
【变式6-1】若命题“是假命题”，则实数的取值范围是 .
【答案】//
【分析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：
【变式6-2】若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程有实根，最后利用判别式计算得结论．
【详解】因为“”的否定是假命题，
所以“”是真命题，
因此关于x的方程有实根，
所以，解得．
因此实数m的取值范围是．
故答案为：．
【变式6-3】已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间上存在着使函数值大于零的，列出不等式求解出参数的范围即可.
【详解】由题意知，命题p为真命题，即在上有解，
令，所以，又因为最大值在或时取到，
∴只需或时，即可，
∴或，解得或，
即．
故实数a的取值范围为．
【点睛】本题考查根据命题否定的真假求解参数范围，难度一般.二次函数在区间上存在着使得，此时只需要即可.
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】因为命题“，”为全称命题，
所以其否定是“，”，
故选：B.
2．下列各命题的否定为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题与特称命题的否定，结合二次不等式以及举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，
由恒成立，则命题“，”是假命题，故A错误；
对于B，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”是假命题，故B错误；
对于C，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”为假命题，故C错误；
对于D，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”是真命题，故D正确.
故选：D.
3．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出，求解即可得出答案.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，
该命题为真命题.
所以，应有，所以.
故选：A.
4．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
【答案】C
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于A，，，其否定为：，，
由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；
对于C，，一元二次方程没有实根，
其否定为：，一元二次方程有实根，
由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；
对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；
故选：C.
5．若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m的范围即可．
【详解】解：由题意得，使得，
当，符合题意；
当，只要即可，
解得，
综上：．
故选：C．
二、多选题
6．已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BCD
【分析】根据以及二次函数的性质可得是的最小值点，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.
由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；
由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；
C选项，当时，，C选项为真命题；
D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.
故选：BCD.
7．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，转化为，恒成立，列出不等式，即可得到的范围.
【详解】由题意可得，，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故选：AB
8．下列说法正确的是（ ）
A．“，使得成立”的否定是“，有不成立”
B．“，使得成立”的否定是“，有成立”
C．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是
D．已知a，，则“”是“”成立的充要条件
【答案】BC
【分析】对四个选项一一验证：对于A、B：利用存在命题的否定直接判断；对于C：先求出，即可判断；对于D：由时，无意义.故D错误即可判断.
【详解】对于A、B：因为“，使得成立”的否定是“，有成立”，所以A错误，B正确；
对于C：命题“，”为真命题，则，所以是一个充分不必要条件.故C正确；
对于D：当时，无意义.故D错误.
故选：BC
三、填空题
9．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】全称量词命题的否定可以通过改变量词，并将结论加以否定得到.
【详解】命题“”的否定是.
故答案为：.
10．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
11．能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由条件可得存在满足条件，，由此可得，再取满足条件的特殊值.
【详解】由“若，则”是假命题可得，
存在满足条件，但，
由此可得，故，
若取，，则，故可取.
故答案为：（答案不唯一）.
12．若命题，为真命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合一元二次不等式以及特称命题真假性求得正确答案.
【详解】若命题，为真命题，
则，
化简得：，解得：或.
实数m的取值范围是:.
故答案为：.
四、解答题
13．判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)假命题
(4)真命题
(5)真命题
【分析】（1）举反例说明命题为假命题；（2）举特例说明存在性；（3）用判别式判断二次方程根的情况；（4）举特例说明存在性；（5）可证明结论恒成立.
【详解】（1）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
（2）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
（3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根．
（4）是真命题，或，都能使成立．
（5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．
14．已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可．
【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
∴当时，即，
解得；
当时，，
解得，
综上：或．
15．已知集合，.
(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上m的取值范围为；
（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，
当时，，解得，
当时，则或，解得，
综上的取值范围为.
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“”