专题01 函数的单调性证明考点（期末大题1）-2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习

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题型1 函数的单调性的证明
使用前提：一般函数类型
证明函数单调性的步骤
第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
第三步：定符号，得出结论.
第四步：得出结论．同号递增，异号递减
模型1．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明．
破解：（1），所以．
（2），在上单调递增，
证明：第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
设，
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
，
第三步：定符号，得出结论.
其中，，，所以，
第四步：得出结论．同号递增，异号递减
所以，所以在上单调递增．
模型2．已知函数.
(1)当时，用定义法证明是上的增函数；
(2)若的最小值为2，求的值.
破解：（1）第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；设，
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
则
，
第三步：定符号，得出结论.因为，
所以，所以，，
第四步：得出结论．同号递增，异号递减
则，所以，
故是上的增函数.
（2）当时，由得的定义域为，
第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
设，
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
则
，
第三步：定符号，得出结论.，
因为，所以，所以，，
第四步：得出结论．同号递增，异号递减
则，所以，故是上的增函数.
所以，即，满足条件；
当时，由得的定义域为，
设，则
，
因为，所以，所以，，
则，所以，故是上的增函数.
所以，即，满足条件；综上，或.
1．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明．
【答案】(1)
(2)在上的单调递增；证明见解析；
【分析】（1）将代入计算即可求得；
（2）利用函数单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论即可证明得出结论；
【详解】（1）由可得，
可得；
（2）在上的单调递增；
证明如下：取，且，
则，
易知，又，所以；
可得，即；
因此可得，在上的单调递增.
2．已知函数.
(1)根据定义证明函数在区间上单调递增
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)，.
【分析】（1）先取值再作差，结合定义域判断的正负，从而证明出单调性；
（2）根据（1）中的单调性，确定出和.
【详解】（1）任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，.
3．已知.
(1)证明函数在上单调递减；
(2)任取，且，证明.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明；
（2）代入函数，作差，然后换元化简证明即可.
【详解】（1），
任取，且，
，
因为，且，所以，
所以，
所以函数在上单调递减.
（2）
,
令，且,
则上式可化为，
所以对任意，且恒成立，
所以对任意的，且， .
4．已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性；
(2)用定义证明（1）中结论；
(3)求该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)函数在单调递增
(2)见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）将化为，即可判单调性；
（2）取值，作差，变形，定号；
（3）根据（2）的结论得出答案.
【详解】（1），
因为在单调递减，所以在单调递增.
（2）任取，设，
，
所以，故函数在单调递增.
（3）由（2）得在区间上的最大值为，
在区间上的最小值为，
该函数在区间上的最大值为，最小值为.
5．判断，在上的单调性，并用定义法加以证明.
【答案】在上单调递增，证明见解析.
【分析】根据单调性定义，令并应用作差法比较的大小，即可证.
【详解】在上单调递增，证明如下，
令，则，
由，故，所以，即.
所以在上单调递增.
6．已知函数．
(1)用单调性定义证明：在上单调递增；
(2)若对，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；
（2）根据函数的单调性，求得最值，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）证明：任取，且，则，
，
因为，
所以，，
所以，
所以在上单调递增.
（2）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
因为，恒成立，
即，恒成立，
即，恒成立，
所以.
7．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)在上是增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据单调性的定义证明即可.
（2）令，换元法结合单调性求函数的值域.
【详解】（1）在上是增函数，证明如下：
任取，，且，
∵，，且，，，
∴即，
∴函数在上是增函数．
（2）令，则，
于是的值域即为求的值域，
由（1）知函数在是单调递增的，
所以当时，即，即时，取最小值，
所以，
所以函数的值域为
8．已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减,证明见解析；
(2)
【分析】（1）任取，且，作差判断符号，结合单调性的定义即可证明；
（2）利用单调性解不等式.
【详解】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，则有，，
可得，即，
所以在上单调递减；
（2）由（1）可知在上递减，
所以由，得
，解得，
所以实数的取值范围为．
9．已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来判断单调性；
（2）由函数在区间上单调性求出最值即可.
【详解】（1）任取，且，
则，
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的值域为.
10．已知函数过点．
(1)求b的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)；
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析
(3)最大值为，最小值为．
【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可.
（2）运用单调性的定义证明即可.
（3）结合函数单调性求其最值即可.
【详解】（1）由函数过点，有，解得；
（2）函数在区间上单调递增，证明如下：
由（1）知，函数的解析式为：，
取，且，有，
由，得，则，
即，所以在区间上单调递增.
（3）由在区间上是增函数，所以在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为.
11．已知二次函数满足：，.
(1)求的解析式；
(2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据二次函数的单调性判断，然后利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）设，则，
整理得，
所以，解得，
所以.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设，
，
因为，所以，，则，
所以，即，
所以在上单调递减.
12．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明详见解析
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1），
所以.
（2），
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
13．已知函数.
(1)在区间上的单调性并利用定义证明:
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）设，计算得到答案.
（2）根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）函数区间上单调递增，
设，则，
，，，故，
即，故函数区间上单调递增；
（2）函数区间上单调递增，
故，.
14．已知函数 ．
(1)求．
(2)求证：函数在上是单调减函数．
(3)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数解析式计算可得；
（2）直接用定义法证明函数的单调性；
（3）利用（2）的单调性结论可求函数在上的值域.
【详解】（1）因为，所以，.
（2）任取，且，
则，
由，，且，则，，
所以，
所以，
所以函数在上是单调减函数．
（3）由（2）可得函数在上单调减函数，
所以，即，
所以函数在上的值域为.
15．已知函数，.
(1)判断函数单调性，并证明；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)函数在上为减函数，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）判断出函数在上为减函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.
【详解】（1）解：函数在上为减函数，证明如下：
任取、，且，则，，，
则，即，
所以，函数在上为减函数.
（2）解：因为函数在上为减函数，
则，，
故函数的最大值为，最小值为.
16．判断函数在上的单调性，并用定义证明．
【答案】函数在上是增函数，证明见解析
【分析】确定函数单调递增，任取且，计算，得到证明.
【详解】函数在上是增函数，证明如下：
任取且，
则
，
因为，则，，
故，即，
函数在上是增函数．
17．已知函数．判断并证明函数在的单调性．
【答案】单调递增，证明见解析．
【分析】利用函数单调性的定义，通过计算来判断出函数在上单调递增.
【详解】函数在上单调递增．证明如下：
任取，且，
因为，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
18．已知函数．用函数单调定义研究在区间上的单调性；
【答案】在上单调递减
【分析】利用函数单调性的定义，通过计算来判断出在上单调递减.
【详解】任取，且，
而，
，，而当时，，
故，即，
故在上单调递减.