微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

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1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数，，.
(1)判断是否对恒成立，并给出理由；
(2)证明：
①当时，；
②当，时，.
【解析】（1）恒成立，理由如下:
令，
则，令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立;
（2）①时，单调递增，故，
又，故要证，
只需证，
令，
则只需证明，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，;
②由（1）知，，
由于，
所以，
所以
例2．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
【解析】（1），则
所以，可得在处的切线斜率为
（2）令，
则，
下面证明：对任意恒成立,
先证明：对任意.证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，故，故，
继续证明：对任意.
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；所以，故
当时，对，都有，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，对，
都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）（i），令，则所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；
（ii）下面证明：当时，成立，
令，则
由前问解答过程，对任意成立，所以
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立
令且，可得，
即，
由题意，令且，可得，因为
所以，
由①当时，，所以令且，可得
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.
例3．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
【解析】（1）令，则，，，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故.
（2）结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
（3）由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得.
例4．（2024·天津·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1）
当时，，，所以，
曲线在点处切线的斜率为，
所以切线方程为，即；
（2）（ⅰ）要证，即证时，，
令，即证在时恒成立，
因为，令，则，
令，则在内单调递增，
所以，即在内单调递增，
所以, 即在内单调递增，
所以，即得证；
（ⅱ）时，
，
由（ⅰ）知，，即，则，
所以
，
，即得证.
例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数．
(1)判断函数的单调性
(2)证明：①当时，；
②.
【解析】（1）由于，定义域为，
则，
①当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
④当时，，所以在上单调递增；
⑤当时，时，，
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：①由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，故；
②由（1）可得，当时，，即，则，
仅当时等号成立，
所以，所以，即得，
令，则，所以，即，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以，
所以
.
例6．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【解析】（1）因为，，
所以，，.
易知，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）由（1）可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证，
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
例7．（2024·陕西西安·一模）已知函数.
(1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值并求函数的极值；
(2)若恒成立，求证：对任意正整数，都有.
【解析】（1）因为，
所以，
依题意可得，即，
所以，定义域为，
所以，
令可得，
所以当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，
因为恒成立，即对任意的恒成立，
即，其中，
令，则，即，
构造函数，，则，令，得，列表如下：
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，，
即时，恒成立，
取，则对任意的恒成立，
令，则，
所以，
所以.
例8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【解析】（1）由题意得.
若，则，即.
因式分解得.因为，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为，
所以
所以.
（3）由题意知，证明
等价于证明，
注意到左侧求和式，
将右侧含有的表达式表示为求和式有
故只需证成立，
即证成立，令，
则需证成立，
记，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
例9．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【解析】（1）
函数定义域为，求导得，
设，则，
①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；
②当时，有两个零点，
则当或时，，即；当时，，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知，当时，时，，
则，令，
于是，
，
所以.
（3）函数，
由于与同号，则只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；
当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，
由， 则，由（2）知，当时，，
则，即，
因此，
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
显然，
而，则，于是当时，存在三个不同的零点，
所以的取值范围是.
【过关测试】
1．（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
【解析】（1）
函数的定义域为，，
①若，恒成立，在上单调递增．
②若，时，，单调递增；
时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：令，
则
因为，
所以，在区间上单调递减．
令，，则，
所以，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，，
又，所以，，所以恒成立，
又因为，，所以，．
同理可得，，
由（时等号成立）得，，即（时等号成立），
又，所以，所以恒成立，
又因为，，，所以，，
所以，区间上存在唯一实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立；
（3）证明：当时，由（1）可得，在上单调递减．
所以，时，，即．
令，，则，
即，即
令，，则，
所以，，
所以，.
2．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数
(1)讨论 的单调性.
(2)证明:当时,
(3)证明:
【解析】（1），，
当时，易知，所以函数在R上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在R上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，，
，令，，
则，所以在上单调递增，
当时，，又，
有，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又，
所以存在，使得，即，
，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上，当时，成立.
（3）由（2），当时，有，即，
令，，得，
，
，
即.
3．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．
【解析】（1）由题意知，，，
①当时，，在上单调递减，
所以，当时，，不合题意；
②当时，由得，则在上单调递增，
由得，则在上单调递减，
所以，，不合题意；
③当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，对于任意的，，符合题意；
④当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，，不合题意．
综上所述，．
（2）证明：由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立．
所以，
当时，令得，
所以，
所以当时，成立.
（3）证明：由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立．
当时，令得，所以，
所以，
所以成立.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，所以，
当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，
且，所以恒大于等于零不成立；
当时，由得，，
易知当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
则，若恒成立，则
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
所以当时，.
综上，若恒成立，则；
（2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即．
所以，，，
所以
.
5．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
【解析】（1）当时，因为，所以设，
又，代入上式可得，
所以，当时，；
当时，设，同理可得，
综上，.
（2）因为，所以，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，即；
设，，
则恒成立，所以在上单调递增，，
所以，
综上，.
几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.
（3）因为，
所以
，
设，则，
所以，
故.
6．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是，或．
当时，，当时，，
当时，，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是，或；
（2）当时，我们需证，
设，注意到，
，令得，
即，是的一个极值点．
令，则，
所以单调递增．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
所以在处取得极小值，
即恒成立，．
伯努利不等式对得证．
（3）当时，原不等式即，显然成立．
当时，构造数列：，
则，
若，由上式易得，即；
若，则，所以，
故，
即此时也成立．
所以是一个单调递增的数列（），
由于，所以，
故原不等式成立．
7．（2024·四川德阳·模拟预测）（）.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
【解析】（1）当时，，
令，，
故为偶函数，
，
令，，
故为奇函数，
其中恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在恒成立，
故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，
结合为偶函数，故在上恒成立，
故在上恒成立；
（2）由（1）知，，
即，当且仅当时，等号成立，
令，且，所以，
故，
即，
由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立，
当且时，，
故，故，即，
所以，
故
.
8．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1.
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求的值.
(3)求证：.
【解析】（1），则，
；
（2）设.
由条件知恒成立，
因为，又的图像在定义域上是连续不间断的，
所以是的一个极大值点，则.
又，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，.
综上，若恒成立，则.
（3）由（2）可知.
，
先证，
令，
则在上单调递减，，即
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得.
又，得
所以，
综上，.
9．（2024·高三·安徽·阶段练习）（1）已知，证明：；
（2）证明：．
【解析】（1）证明：令
则在单调递增，所以即；
令
则在单调递增，所以即
所以，所以
综上，；
（2）结合第（1）问，对任意的恒成立，
令，则，
即
．
即，
，
所以．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：对于任意正整数n，都有．
【解析】（1）的定义域为，
，
若，当，则，所以在上单调递增；
若，当，则，所以在上单调递减；
当，则，所以在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递减.
（2）由(1)知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即当时，，
对于任意正整数，令，
有，
所以，
即，
即.
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
【解析】（1）由题可知函数的定义域为，
，令，得，
由x，，列表如下
，
因为恒成立，
所以，．
令，则，
由x，，列表如下
．
又，，
，，
，故a的取值集合为．
（2）由（1）可知，当时，，
即，，
（当时，“”成立），
令，
，则，，
由累加法可知
累加可得，
即，
令，，
恒成立，
在区间上单调递减，
，
，
，
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.
13．（2024·湖南长沙·一模）已知函数.
(1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：
(2)证明：.
【解析】（1）
易知函数的定义域为.
由，可得.
设，则，
，且与有相同的零点个数.
思路1：令，，则.
当时，，则，即，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，显然，则，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，由，解得，，且.
当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减.
不难得知，
，
（令，故在单调递减，
故，即，），
则在有一个零点，可知不只一个零点，不合题意.
综上，可知.
思路2：令，.
当时，在单调递减，有，即，
可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，.
若，则，可得在单调递减，
则有且仅有一个零点.
若，存在，且，使得.后续过程同思路1.
综上，可知
（2）取，当时，，有，
即，则.
令，，则，即，
从而
.
14．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)证明：，且.
【解析】（1）由函数可知其定义域为，
易知，令可得，
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为;
（2）由可得，
即在时恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以可得，因此恒成立，
即可得在是单调递减，所以，即；
因此满足题意，所以的取值范围是
（3）由（2）可得取，当时，满足，
即，
所以可得，
即可得.
15．（2024·高三·山西·期末）已知函数.
(1)若当时，，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）由题可知.
令，其图象的对称轴为直线.
当即时，在单调递增，
又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，
所以在单调递增，
又，所以恒成立.
当即时，在单调递减，在单调递增，
又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，在单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，，
从而，
于是.
16．（2024·高三·全国·专题练习）已知实数，，．
(1)求的值；
(2)若对恒成立，求a的最小值；
(3)当正整数时，求证：．
【解析】（1）由函数，可得，所以．
（2）设，
因为对恒成立，
即，对恒成立，且．
所以，可得．
①当时，因为，所以，
所以在上单调递增，所以；
②当时，令，得，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，（舍去）．
综上所述，实数的最小值为．
（3）由（2）知当时，对恒成立，且，
所以对恒成立，
取，则，
①当时，可得，
又，所以；
②当时，.
综上所述，原不等式成立．
17．（2024·天津红桥·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程：
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：（，）.
【解析】（1）当时，函数的定义域为，，，
曲线在点处的切线方程的斜率，
则切线方程为；
（2）若恒成立，则恒成立，
设，，，
由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减.
.；
（3）证明：结合（2），令，则，即，则，（当且仅当时取等号），
，，…，，
，（，）.
18．（2024·高三·山东烟台·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：.
【解析】（1）易知函数的定义域为，
，
当时，，
易知时，，此时单调递减，时，，此时单调递增；
即在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，
易知当时，，
当时，，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减；
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递减，在单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减；
（2）由（1）可知当时，在单调递增，所以，
即（当且仅当时等号成立），
令可得，即；
，
，
累加可得.
19．（2024·高二·浙江温州·期末）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若当时，恒有，求实数a的取值范围；
(3)设时，求证：．
【解析】（1）因为，则，
则，，即切点坐标为，斜率，
由题意可得：，解得.
（2）令，
则，
由题意可知：当时，恒有，且，
则，解得，
若，则有：
①当时，，
因为，可知，
令，
因为在内单调递增，可得在内单调递增，
则，即，符合题意；
②当时，则在内恒成立，符合题意；
③当时， 令，
则，
因为，则，，
可知在内恒成立，
则在内单调递增，可得，
则在内单调递增，可得，符合题意；
综上所述：实数a的取值范围为.
（3）由（2）可知：当时，，
令，可得，
令，则，则，整理得，
令，则，整理得，
则，
所以.
20．（2024·高三·广东汕头·期末）已知函数，.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）因为，注意到，
所以当恒成立时，是的最小值点，也是极小值点，则，
而，所以，解得，
当时，，，
令，得，则在区间上单调递减，
令，得，则在区间上单调递增，
所以，
所以．
（2）由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即．
所以，，，
所以
.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围；
(3)设，求证：．
【解析】（1）当时，，，
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题意，得．
①当时，，，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，所以在上单调递增，
所以，满足题意；
②当时，令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）证明：由（2）可知当时，，所以．
令，得，即．
所以，
即．
22．（2024·全国·模拟预测）已知实数，，．
(1)求的值；
(2)若对恒成立，求a的最小值；
(3)当正整数时，求证：．
【解析】（1）由函数，可得，所以．
（2）设，
因为对恒成立，
即对恒成立，且．
所以，可得．
①当时，因为，所以，
所以在上单调递增，所以；
②当时，令，得，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，（舍去）．
综上所述，实数的最小值为．
（3）由（2）知当时，对恒成立，且，
所以对恒成立，
取，则，
①当时，可得，又，所以；
②当时，．
综上所述，原不等式成立．
23．（2024·高三·上海宝山·期末）已知数列满足.
(1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列；
(2)若，求证：；
(3)对于（2）中的数列，求证：
【解析】（1）依题意，，而，则，
，要使数列为等差数列，则，即公差，
而，则，于是，解得，
显然，此时，
即对，恒有，因此数列是以为公差的等差数列，
所以当时，.
（2）函数的定义域为，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
，即，，，即，
当时，，显然时上式成立，
又，因此，所以.
（3）由（2）知，而，则，
，显然，又函数是上的增函数，则可递推得，
当时，，于是，
当时，，
而，即，恒有，
因为当时，，则当时，，而
因此当时，，，
，
于是，
所以.
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
x
a
0
递减
极小值
递增
x
1
0
递增
极大值
递减